张宏
摘要：函数极限是高等数学的理论基础，也是高等数学的难点之一，如何让应用技术型大学学生掌握函数极限的求解，并用函数极限的思想理解导数和导数的部分应用，都是值得考虑的问题，本文试图通过极限计算的前后呼应让同学们加深对函数极限的理解。
关键词：极限；高等数学；导数
一、 引言
理工科的学生进入大学后的数学学习以函数极限为基础，函数极限是以变量变化趋势作为研究对象。学生的数学学习正是由此开始，实现从中学常量数学的学习到大学变量数学的学习转变。由于数学思想的转变，所以函数极限成为了高等数学学习的难点。
为了让学生可以更好的理解函数极限的概念、掌握函数极限的求法，下面从例子limx→0（ex-1）/x理解极限定义，学习极限计算方法，极限与导数的关系等。
二、 定义的理解
函数的极限与自变量变化过程有关，与函数在定点是否有定义无关。
例如：极限limx→0（ex-1）/x，该函数在点x=0无定义，但却有变化趋势，为以通过函数图形辅助同学们理解。
三、 极限求法
函数极限的计算方法有定义、夹逼原理、四则运算、应用重要极限、等价无穷小替代、连续函数的性质、导数的定义、洛必达法则、泰勒公式、定积分定义等多种方法。本文列举部分重要的求极限limx→0（ex-1）/x。
（一） 應用重要极限、连续函数的性质方法
令ex-1=t，则x=ln（1+t），当x→0时，t→0
因此limx→0（ex-1）/x=limt→0（eln（1+t）-1）/ln（1+t）=limt→0t/ln（1+t）
又∵limt→0ln（1+t）/t=limt→0ln（1+t）1/t=lnlimt→0（1+t）1/t=lne=1
∴limx→0（ex-1）/x=1。
（二） 应用等价无穷小的方法
由于ex-1～x，所以limx→0（ex-1）/x=limx→0x/x=1。
（三） 应用导数定义方法。
应用导数定义求解极限的过程中，借助图形演示，不但有利于学生理解导数的几何意义，而且有利于学生进一步巩固函数极限的掌握，达到“温故而知新、知新而固旧”的教学目的，同时也使得同学们理解高等数学的各部分是有机整体。
令f（x）=ex，则f′（0）=limx→0（ex-1）/x=1。
（四） 应用洛必达法则方法
limx→0（ex-1）/x=limx→0ex/1=1。
（五） 应用泰勒公式方法
泰勒公式是高等数学的另一个难点，在这一部分学习时，通过图形演示可以让同学们直观的看到函数的逼近，加深对泰勒公式的理解。
由于ex=1+x+x2/2！+…+xn/n！+o（xn），见图3。特别的，当n=1时，ex=1+x+o（x）
所以limx→0（ex-1）/x=limx→0（1+x+o（x）-1）/x=limx→0[1+o（x）/x]=1
四、 致谢
感谢天津中德应用技术大学教研项目：应用型本科院校线性代数课程建设探索（zdkt2015-019）的支持。
参考文献：
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