林丹兰
摘 要：数学是一门集抽象性与逻辑性于一体的学科，在学生学习生涯中发挥着不可小觑作用。高中数学教师在新课程改革下要在数学教学中融入核心素养，锻炼学生思维能力与解决问题能力，切实提升学生综合素养。高中数学教学实践中应基于对高中数学核心素养充分理解与深入把握的基础上，采取针对性的培养方法。为给高中数学教学活动提供参考，文章探讨教学实践中直观想象以及逻辑推理的培养思路与方法。
关键词：高中数学;核心素养;教学策略
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8918（2022）17-0099-04
新课程改革对课堂教学提出比以往更高的要求和标准。高中数学教师应将培养学生核心素养列为重点目标。其中直观想象以及逻辑推理是高中数学核心素养的重要组成部分，实践中应正确处理其两个素养与教学之间的关系，使学生认识到提升两个核心素养的重要价值，促进学生学习成绩以及核心素养的双重提升。
一、 基于学科特征 培养学生直观想象
直观想象是高中数学核心素养之一，即借助空间想象与几何直观感知事物形态与变化，同时运用图形等空间形式高效理解和解决数学问题。换言之，直观想象即几何直观与空间想象结合。另外，数与形是数学学科主要研究对象，二者紧密相依，其中可用数描述形，或用数展示形的特征。
具体可从以下方面着手：首先，基于核心素养层面理解直观想象。数学教师只有自身深刻理解直观想象才能运用正确理念驱使正确教学行为，促使学生形成直观想象素养。直观想象包括空间想象与几何直观，形是直观想象的直接研究对象，数则是研究形的辅助工具。与此同时直观想象还具有以下关系，即几何直观所描述的几何图形均为学生观察后所形成的直观感悟，空间想象即学生在几何直观基础上构建的全新图形，对此，可将几何直观理解为空间想象的基础，空间想象则可理解为对几何直观思维的延伸，故而只有明确二者的逻辑关系才能高效培养学生的直观想象素养，并认识到直观想象能提高学生分析和解决问题的能力，逐渐形成良好的创新意识、思维习惯与应用数学意识，从而欣赏与众不同的数学美。
例如：求一个正四面体外接球的体积与表面积。（如图1所示）由于要明确球心位置与球的半径，多数学生会看到难度较大，难以寻找到解题切入点。究其原因，在于学生缺乏几何模型，若大脑中存在相对清晰的正方体模型，就可将正四面体还原至正方体中（如图2所示），上述就是几何直观效果。学生只要具备直观清晰的正方体模型就可基于此直观展开想象，那么正方体中就会有正四面体，有效突破解题困境。
其次，注重启发学生智慧。直观想象能力在学生解题中发挥着不可小觑作用，无论从核心素养培养层面或应试层面分析都有着显著价值，因此，教学实践中，应在例题讲解中给予学生启发，更好地激活其思维，锻炼其智慧。
例如：如图3分别取正方体ABCD-A1B1C1D1各面的中点，形成一个八面体，则该八面体的内切球的体积与正方体外接球的体积之比为（ ）
A. 1∶8
B. 1∶9
C. 1∶27
D. 1∶24
取八面体的上半部分为研究對象，如图4所示，设正方体的棱长为2，则底面正四边形的边长EF=2，其中点M为内切球的球心，MN=22。侧面正三角形的边长PE=PF=2，易求得侧面上的高PN的长为62。设T为八面体内切球和面PEF的切点，则T落在PN上，连接MT，易得MT⊥PN，则△PMN∽△PTM，则PM/PN=MT/MN，可得MT=33，其即为正八面体内切球的体积。图4
正方体外接球的半径为3，因此，对应的比值为1∶27，选择C项。
通过该例题的讲解既能很好的锻炼学生的空间想象能力，又能很好地启发其在以后分析立体几何问题时可通过分割选择恰当的研究对象，以降低分析问题的难度，提高解题效率。
最后，组织学生开展专题训练活动。直观想象核心素养涉及的内容较多，其中建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路是直观想象素养的重要内容。教学实践中为更好的提高学生的这一素养，在讲解相关理论以及例题后应注重组织学生开展专题训练活动，使其更好地掌握形向数以及数向形转化的思路，积累数形结合的技巧。
（一）由形向数的转化训练
由形向数的转化在平面几何中的思路为建立平面直角坐标系，用坐标表示图形中对应的点。在立体几何中则需要空间直角坐标系，同样需要运用坐标表示出图形中对应的点，而后借助向量运算求解相关问题。高中阶段由形向数的转化主要体现在借助空间直角坐标系解决立体几何问题上，因此训练过程中需做好相关习题的设计。
例如：如图5，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中点，点P在侧面BCC1B1的边界及内部移动，且满足D1O⊥OP，则异面直线D1P和AB所成角的余弦的最大值为 。
题干中并未直接给出相关线段的长度，因此需要通过建立空间直角坐标系进行合理的假设，化形为数进行解决。设正方体的棱长为2，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图6所示。对应点的坐标分别为A（2，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），O（1，1，0），则D1O=（1，1，-2），AB=（0，2，0）。假设P（a，2，b），a、b∈[0，2]，由D1O⊥OP可得到D1O·OP=0，而OP=（a-1，1，b），即，a-1+1-2b=0，即，a=2b，则P（2b，2，b）。在侧面A1D1DA内取一点O，使得QP∥AB，易得Q（2b，0，b），容易得到△D1QP为直角三角形，则|cos〈D1P，AB〉|=|cos〈QP，PD1〉|=|QP|/|PD1|，|QP|=2，PD1=（-2b，-2，2-b），|PD1|=4b2+4+b2+4-4b=5b2-4b+8，由二次函数可知，|PD1|min=365，则异面直线D1P和AB所成角的余弦的最大值为2365=53。59A921FD-515D-4292-9CD5-7A3F6E01CED4
解答上述立体几何习题采用构建空间直角坐标系的方法将形转化为数。结合点的坐标通过数的运算求解几何问题，如此可迅速地找到解题切入点，确保问题得以顺利、有效地解决。
（二）由数向形的转化训练
由数向形的转化主要通过对数的深入理解，将其转化为对应的几何图形，运用几何图形的性质解决问题。解答高中数学习题时应注重增强由数向形的转化意识，通过对数巧妙的处理，化抽象为直观，降低解题的难度。组织学习者开展训练活动时，可向其展示如下问题，要求其思考作答。
例如，已知定义在R上的增函数f（x）满足y=f（x-1）的图像关于点（1，0）对称，若不等式 f（16-x2）+f（23-k（x+2））≤0的解集为区间[a，b]，且b-a=2，则k的值为 。
该题以函数为背景求k的值，较为抽象。解题的关键在于能够运用函数的性质，将数转化为形。由y=f（x-1）的图像关于点（1，0）对称，可知函数 f（x）的图像关于（0，0）对称，而f（x）是R上的增函数，因此，函数f（x）为R上的奇函数且递增。由 f（16-x2）+f（23-k（x+2））≤0，可得f（16-x2）≤-f（23-k（x+2））=f（-23+k（x+2）），即，16-x2≤k（x+2）-23的解集区间为[a，b]，且b-a=2。其中y=16-x2的图像为圆心在原点半径为4的圆的上半部分，
y=k（x+2）-23是过定点（-2，-23）的直线。在同一平面直角坐标系中作出函数y=16-x2和y=k（x+2）-23的图像，如图7所示。
由图并结合已知条件可得b=4，而b-a=2，则a=2，即，直线和半圆的交点N的横坐标为2，N（2，23），则k=（23+23）/4=3。
通过上述习题的解答可知，数的问题较为抽象，基于对数规律的分析，积极联系相关图形化数为形，便可直观地揭示出数的逻辑关系，真正地达到化抽象为具体，迅速破题的目标。
二、 基于学科特征 培养学生逻辑思维
逻辑推理能力为高中数学学科核心素养目标之一，除了能帮助学生在学习中形成良好逻辑思维，更能在一定程度上优化学生数据分析能力与抽象思维等核心素养，激发学生潜在探究数学知识的兴趣。对此，高中数学教师在教学过程中可围绕核心素养目标从多方面培养学生逻辑思维能力，引领学生基于客观事实与逻辑规则，准确、迅速推理和判断数学核心问题，促使全面理解和掌握数学规律，强化核心素养。
具体从以下方面着手：
首先，注重夯实基础。教师在教学过程中需不断增强概念教学。数学教师在训练学生逻辑思维时需注重夯实其基础，只有学生掌握基础概念才能基于抽象思维对概念进行深入分析，提高学习效率。
例如：m=12为直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）+x（m+2）y-3=0相互垂直的何种条件（ ）
A. 充分不必要条件
B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
数学教师在教学中先让学生了解直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）+x（m+2）y-3=0相互垂直的概念，学生只有了解该条件成立的因素才能解题。学生通过学习概念得知，若两条直线均存在斜率，其斜率之积为-1。若其中一条直线不存在斜率，另一条直线斜率为0。根据概念分析上述题目，若让直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直，则当m=12时，两条直线斜率乘积为-1，或当m=-2时，两条直线一条斜率为0，则另一直线不存在斜率。所以当m=12时，两条直线为相互垂直形态，然而当两条直线相互垂直时m=12或m=-2，正确答案为A。
其次，发挥学生想象力。数学教师在教学中应对学生想象力进行培养，引领学生在分析和解决数学问题时结合自身想象力展开逻辑推理。若假设正确可继续沿着该思路解题，反之则需及时调整解题思路。在培养学生逻辑思维能力时可先为学生设计相关教学问题，引领学生观察探究问题并以此为前提展开假设，激发学生想象力。还要在此基础上指导学生进行类比和归纳，鼓励学生表述自身猜想，验证所学知识，得出正确结论。
例如，在学习猜想空间中四面体性质时，数学教师先行导入勾股定理与平面直角三角形等知识，促使学生猜测性质，再运用此方法提高学生的逻辑推理能力。
图8（a）为直角三角形，图8（b）四面体的三个面相互垂直，侧面ABC、ACD、ADB的面积分别为S1、S2、S3，底面BCD的面积为S。课堂上让学生认真观察图片，结合勾股定理知识对四面体提出假设。教师让学生以小组合作的形式相互讨论分析，必要时给予学生相应的提示和点拨。学生根据Rt△ABC中a2+b2=c2，直接类比推导四面体A-BCD中S21+S22+S23=S2。再在此之后让学生验证猜想并得出结论，学生会感到数学学习乐趣，不断强化逻辑推理能力，发展核心素养。
再次，展示例题。为更好地培养学生的逻辑推理核心素养，使其把握逻辑推理的切入点，养成尊重事实，严谨推理的良好习惯，给其以后更好地解题提供参考，教学实践中应注重与学生一起分析具有代表性的例题，展示逻辑推理的具体过程，使其更好地把握逻辑推理的关键。在进行数列知识教学时可为学生讲解如下例题：
设数列{an}满足：a1=6，an+1=54an+34a2n-2，n∈N*，其中[x]表示不超過实数x的最大整数，Sn为{an}的前n项和，则S2020的个位数字为（ ）
A. 6B. 5C. 2D. 1
解答该题不仅需要充分理解[x]表示的含义，而且需要从给出的已知条件尝试着进行归纳推理。根据数列中的首项以及an+1和an的关系进行推理。根据题意不难得出，a2=11，a3=21，a4=41，a5=81，…，an+1=54an+34a2n-2<54an+34an=2an，归纳可知，从第2项开始，每项的个位数均为1，因此，S2020=6+（2020-1）=2025，个数数字是5，选择B项。59A921FD-515D-4292-9CD5-7A3F6E01CED4
实践中通过在课堂上为学生展示推理过程，使学生认识到归纳推理的具体步骤，启发其在以后解答数列类的问题时，可根据创设的情境先写出前几项，而后归纳出相关规律，如此可取得事半功倍的解题效果。
最后，鼓励总结。培养学生的逻辑推理素养是一个非常缓慢的过程，因此实践中不能急于求成，应结合具体教学内容安排好培养工作进度，尤其应鼓励学生做好逻辑推理的总结，把握不同问题逻辑推理的相关思路，以及对应逻辑推理方法适用的问题类型，避免在以后的推理过程中走弯路。例如在讲解导数知识后，可为学生展示如下习题：
已知实数x>1，y∈R，e为自然对数的底数，若exlnx+eyA. eylnx>eB. eylnx
