抓住数学概念本质凸显数学思维的深刻性

高燕

中图分类号：G4 文献标识码：A

数学概念是现实世界中空间形式、数量关系及其本质属性在人们头脑中的反映。对数学基本概念的准确理解與把握是学生走进数学大门、认识数学现象的重要基石。刘加霞教授指出，实现有效教学的根本在于把握数学概念的本质。对数学知识的不断重构正是数学思维发展的一个基本形式，也凸显出数学思维的深刻性。《认识一个整体的几分之一》是学生在三年级上册已经学过把一个物体或图形平均分成若干份，用分数表示这样的一份或几份的基础上进行学习的。由于把几个物体组成的整体平均分成若干份，用分数表示的这样的一份或几份，仅仅是指部分与整体间的关系，其结果通常与一份或几份的实际数量在形式上完全不同，所以，学生理解这样的分数相对要困难一些。如何抓住分数概念的本质，实现对原有分数概念的重构，提升学生数学思维的深刻性，我在教学《认识一个整体的几分之一》这一课做了以下几方面的探索研究。

一、激活经验，引发问题冲突

教学应当充分利用学生的已有知识经验和生活经验，创设有效的问题情境，实现旧知与新知的有效对接。认识一个整体的几分之一是建立在认识一个物体或一个图形的几分之一基础上之上的，通过创设情境把一个桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这个桃的几分之几，复习一个物体的几分之一，激活学生已有的活动经验，为认识一个整体的几分之一奠定知识、经验和思维基础。接着，出示用毛巾盖好看不到具体个数的一盘桃，提出“把这一盘桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？”这一问题，激活新旧知识的生长点，学生运用正迁移，由一个桃平均分成2份，每份是这个桃的二分之一，很容易类推出“把一盘桃平均分成2份，每份是这盘桃的二分之一”。接着我让学生猜一猜：你觉得这盘桃可能有几个？学生有的猜4个，有的猜6个，有的猜10个……接着我进一步设问“那怎样分出一盘桃的二分之一？”通过制造认知冲突，引发新问题，激发学生解决问题、探索新知的内驱力。

二、抓住联系，发展结构思维

布鲁纳认为：“学习就是认知结构的组织和重新组织。”只有抓住联系，才能更好地把握结构、理解结构、生成意义，突出数学概念本质。如何将教材的知识结构转化为学生的认知结构，让学生能清晰地认识、有效地提取，这就需要教师进行教学设计时，遵循数学知识内在的逻辑，通过结构化的设计、模块式的意义重构、递进式的教学推进，帮助学生建立清晰的知识结构。从一个物体的几分之一到一个整体的几分之一，这是分数含义的一次主要拓展。依据学生已有的知识和认知发展规律，先集中力量引导他们认识一个整体的1/2，再利用学习1/2的方法引导学生主动认识其他的几分之一。这种循序渐进的安排，有利于学生逐步加深理解并形成合理的认知结构。

1.探索认识整体的二分之一

依据学生已有的知识和认知心理，我先引导学生认识一个整体的二分之一，把分别画有3个桃、4个桃、6个桃、12桃的一盘桃的图片同时分发给不同的学生，让他们经历分一分，涂一涂，再一一展示汇报、交流等验证活动，并板书呈现如下几种分法。

教学中，我抓住新旧知识的“联接点”——平均分，创设“分桃子”的操作情境，用上面的板书整合了学生所有操作活动的信息，这样更有利于学生对一个整体的二分之一形成完整的认识，也有利于新旧知识关系的沟通，凸显一个整体的二分之一的本质属性。接着引导学生对这几盘桃子进行观察和比较：每盘桃的总个数不同，每份桃的个数也不同，为什么每份都可以用二分之一表示？并由此延伸：如果有一筐桃，平均分成2份，每份是这筐桃的几分之几？如果这筐桃有50个，平均分成2份，每份是这筐桃子的几分之几？如果这筐桃有51个，平均分成2份，每份还可以用二分之一来表示吗？

通过设计递进式的问题，平均分的对象由一盘桃扩展到一筐桃，学生进一步明晰二分之一的内涵和外延——不管每份是几个，也不管每份的个数是否为整数，只要把一个整体平均分成2份，每份都是整体的二分之一。

2.探索认识整体的几分之一

数学的学习过程，需要经历将现实情境去伪存真，抽象出数学知识与特征，并用数学方式表征内化的过程，这就是数学化的过程。在学生充分认识“一个整体的二分之一”的基础上，我继续以有趣的分桃情境引发思考：12个桃除了可以表示它的二分之一，你觉得还可以表示它的几分之一？通过小组合作，用游戏棒将12个桃分一分，说一说，再填一填，把得到的结果记录在“活动记录单”上。随着小组上台展示汇报，逐步呈现如下五种分法：

追问：都是12个桃，为什么表示每份的分数都不一样呢？上述教学中，我借助学生对“一个整体的二分之一”已有认识和活动经验，鼓励学生“再创造”其他的几分之一，帮助学生初步建立对一个整体的几分之一的合理的认知结构，形成分数的表象。接着教师引导学生观察比较，发现虽然表示整体的个数相同，因为平均分的份数不一样，分的份数越多，表示每份的分数越小。学生在活动中学会用分数描述平均分桃子的过程和结果，建立起“生活情境”与“数学符号”之间的联系，实现“现实世界”到“数学符号”的抽象。

三、练习应用，发展数学思维

练习的安排既强调针对性，又注意层次性;既强调对一个整体的几分之一的理解和应用，又注意呈现富有一定挑战性的问题，以突出数学概念的本质，不断提升思维水平。我设置了三个不同层次的闯关练习，第一关是填一填，用分数表示涂色部分。

追问：图（1）中，涂色部分都用四分之一表示，为什么涂色部分的苹果是1个，正方体却是2个？图（2）中，每个圈里都是8个正方体，为什么左图里的涂色部分用四分之一表示，而右图里的涂色部分却用二分之一表示？第二关是涂一涂，在每个图里分一分，并涂色表示对应的分数。图中一共有10只小鸡，要求涂色表示五分之一，我重点投影展示学的典型错误：学生涂了5只小鸡，请这位学生说说自己的想法，并与呈现的正确答案进行对比，通过师生共同讨论，加深对几分之一的理解，澄清了错误认识，有效突破难点。第三关是在生活中寻找一个整体的几分之一。通过把一包面纸平均分，得到不同的几分之一。学生通过观察比较体会到：同一个整体，观察的角度不同，平均分的份数不同，得到的分数也不同。接着出示小朋友玩游戏的场景，针对同一个小朋友，让学生寻找不同的几分之一，并思考：表示的是同一个小朋友，为什么表示的分数不一样呢？最后通过小朋友分别两次拿巧克力的活动，第一次拿走9块巧克力的三分之一，第二次拿走剩下的二分之一，追问：两个小朋友都是拿三分之一，为什么他们拿的个数不一样？学生通过解决这些有挑战性的问题，对“一个整体”的概念有了更丰富的认识，对分数内在的一致性有了更深刻的理解，而这一过程也促进了学生的智慧生成，进而让学生的数学思维得到发展，思维品质得到提升。