不等式中”多元最值问题”求解的转换策略

沈江

摘要：多元函数进入了中学数学，尤其是与多元函数数有关的值领域或最重要的值问题，在高考题中经常出现。这类问题的解决具有很强的技巧，方法灵活多变，对中学生具有一定的挑战，因此成为高中数学最有价值的一类问题的难点。笔者对不等式中”多元最值问题”求解的转换策略进行了研究，提出了以下观点，仅供参考。

关键词：不等式;多元最值问题;求解

中图分类号：G4 文献标识码：A

前言

为了提高学生的解题能力，培养学生的思维能力，本文讨论了无条件最值问题、条件最值问题和含参不等式恒成立问题中的参数最值问题。

一、均值不等式

例1，若a>b>c>0，求2a2+1/ab+1/ a（a-b）-10ac+25c2的最小值。

分析：在这一题目当中是没有办法直接使用不等式的，因此首先可以觀察到a2-10ac+25c2=（a-5c）2，并且还可以发现a2-ab=a（a-b），所以需要采取一定措施得到-ab。

解：2a2+1/ab+1/ a（a-b）-10ac+25c2=a2-ab+1/ a（a-b）+ab+1/ab+（a-5c）2≥4+（a-5c）2≥4.当且仅当a2-ab=1/a2-ab，ab=1/ ab以及（a-5c）2=0时，等式成立，即a=√2， b=√2/2， c=√2/2时，等号成立。

变式，设x，y， z为正实数，求10x2+10t2+z2/xy+yz+ zx的最小值.

分析对于类似ax2+by2+cz2/exy+fyz+ gzx的这类式子运算使用不等式时，需要将x2，y2， z2进行合理的分配。比如将其改写为2（x2+y2）+（8x2+1/2z2）+（8y2+1/2z2）/xy+yz+zx，便可以得出结果。

二、无条件最值问题

[例 1]已知 x，y，z 为非零实数，则 xy+yz+ xz/x2+y2 +z2的最大值为.

思路1：因为 x2 + y2/2≥xy，y2+z2/2≥yz，z2 +x2/2≥zx，x2 + y2/2 + z2+x2/2+y2+z2/2≥xy+yz+zx，即x2+y2+z2 ≥ xy + yz+zx.所以xy+yz+xz/x2+y2+z2≤1，当且仅当x=y=z时取等号，故xy+yz+xz/x2+y2+z2的最大值为1.

思路 2：因为xy + yz+ xz/x2 + y2 +z2为齐次分式，所以可以设 x + y + z = 1，或者，可用x/x + y + z，y1x + y + z，z/x + y + z取代x， y， z，化简后目标函数形式不变 .令t =xy + yz + xz， 则x 2 + y2 + z2 = 1 - 2t， xy+yz+xz/x2+y2+z2 =t/1 - 2t =1/1/t- 2. 由思路 1 可知 t ≤ 1- 2t  t ≤13，从而xy + yz+xzx/ 2+ y2 +z2≤1. 当且仅当x= y = z = 1/3 时取等号，故xy + yz+xz/x 2 + y2 + z2的最大值为1.

思路3：取 a = （ x，y， z） b = （ y， z， x） ，则 a  b = xy +yz + zx， |a| = |b| =√ x2 + y2 + z2，则cos < a，b >= a×b/ |a||b| = xy+yz +zx/√x2 + y2+z2√x2+ y2 + z2 =xy + yz + zx

/x2+y2 + z2 ≤ 1，等号成立当且仅当 a与b同向，即x = y=z.

[例2]设实数 a， b， c 满足 a2 +b2 ≤ c ≤1，则 a +b + c的最小值为.

思路1：因为 c ≥a2+b2，所以a+b+c≥a+b + a2 + b2 =（a + 1/2）+（b+1/2）2- 1/2.故 a + b + c的最小值为-

1/2.

思路 2：因为 c ≥ a2 + b2，所以a+b+c≥a+b +a2 + b2. 又 因 为 a2 + b2 ≥ （a + b）2/2，故a+b+c≥a+b + a2 + b2 ≥ （a +2 b）/2 + （a +b）=1/2[（a+b）+1]2-/12.故 a + b + c的最小值为-1/2.

三、含参不等式恒成立问题中的最值问题

已知x， y ∈ R，且满足xy ≠ 0和3x2 + 4xy ≤λ（ x2 + y2 ）恒成立，试求实数λ的最小值.

思路1：依题可得3x2+4xy≤3x2+（x2+4y2）=4（x2+y2）.因为x，y均不为0，故3x2+4xy/x2+y2≤4，所以λ≥4.故实数λ的最小值为4.

思路2：因为x，y均不为0，所以λ≥3x2+4xy/x2+y2=3+4×y/x/1+（y/x）2.令t=yx，则λ≥3+4t/1+t2，记f（t）=3+4t/1+t2，令s= 3+4t，则y = f （t）= s/1+（s-3/4）2=1/1/16 ×（s+25/s）- 3/8.∵ s + 25/s ≥ 2√ 25=10（等号成立当且仅当 s =5），∴y≤4，

即ymax=4，因此λ≥4，故实数λ的最小值为4.

思路3：因为3x2 +4xy≤λ（x2 +y2），所以 （λ-3）x2-4xy +λy2≥0.当λ = 3时，则 3y2-4xy≥0显然不成立.当λ ≠ 3时，同除y2得 （λ - 3）（x/y）2- 4 ×xy +λ≥0.故{λ-3>0 ，16-4λ（λ - 3） ≤ 0 ，解得 λ ≥ 4.

四、结语

多元函数最重要的问题是学习过程中的一个难点。在学习过程中，它往往融合了函数、不等式、三角函数，需要对求解策略进行不断的思考、概括和总结。在以后的学习练习中，有必要观察和思考多变量函数的最佳化问题，不应总结求解多元最优性函数的方法和技术。这些方法和技术不是孤立的，而是相互关联的。因此，学生应该仔细地理解每一种方法背后的本质，以便能够自由地应用。

参考文献

[1]刘奕辰 ，郭建华 .漫谈多元函数最值问题的求解策略[J].中学数学研究，2018

[2]范习昱.刍议多变元最值问题的求解策略[J].高中数学教育学，2014：19.

[3]卢阳.例析多元函数最值问题的求解策略[J].中学数学研究，2018：45-48.