组合数的新应用

刘日升

中图分类号：G4 文献标识码：A

本文将会介绍用组合数来表示数列的通项，以及引入“三角图”的概念用来快速求出数列通项和数列的前n项和。

例1 .求的值。

思考：对于上式相信大家都不会陌生，由自然数的平方和公式我们可以快速得出上式的值为。下面我们用组合数来证明。

即=，这说明是自然数平方和的组合数表 示。

那么是否存在一种方法可以快速得出自然数平方和的组合数表示呢？

下面引入“三角图”的概念。

设数列： 其中

如下图，第一列取（平方次取到），第二列取，第三列取（i=0，1，2，3，……）

取所在对角线，则，即为，的系数，则可得数列通项

数列的前n项和即在通项的基础上，将组合数的上下标分别加一，即，与实际符合。

上述利用“三角图”可以快速得出数列的通项公式以及前n项和公式，下面我们尝试利用“三角圖”解决自然数的三次方和。

例2：求的值

解：利用“三角图”求出数列的通项公式

由上述可知，利用“三角图”可以较方便的得出自然数的n次方和（n=1，2，3，…）

一般的，对数列，其前m项和可表示为：

对于数列，其前m项和的组合数前的系数，经总结可得下图所示的三角图表示：

“三角图”也适用于更一般的数列。

例3：求数列 1，1+（1+2），1+（1+2）+（1+2+3），…的前n项和。

解：画三角图如下：

更一般的，当数列的通项为多项式时，我们依然可以利用“三角图”求解数列的前n项和。