摘 要：数形结合是根据数学问题的已有条件和结论的内在联系，对其中所包含的数学意义进行简要分析，揭示其中所蕴含的几何概念，实现空间形式的具体展示与数量关系的精准分化的有机结合。其中的“数”可以定义为数学知识的表面表示形式，如数字、数学概念、定理等概念性的命题;而“形”可以直接理解为几何图形的直观表现形式，如实际物体、图像、图形或符号，将数与形从表面理解含义进行综合，可以帮助学生透过表面发现数学知识的本质含义，实现对于数学知识的整体认知，并灵活应用数学知识解决生活问题。
关键词：高中数学;线性规划;数形结合
一、 引言
学生步入高中阶段，理论知识的学习也变得更加艰深难懂，这些知识对于学生学习能力、理解能力、抽象思维能力以及学习思维的要求都较高，而且学生直接面临着高中升大学的考试，是学生人生的重要转折点，他们需要通过有效的学习成绩实现对自我人生轨迹的把握和学习能力的提升。
此阶段的学生已经实现了文理分科，大部分文科生的数学基础较差，对于图形敏感度不强，不具备基本的以代数学习提升几何学习的能力;而理科班的学生则需要高效的数学学习方法，提升个人学习成绩，并形成正确的学科思维，实现个人学习能力的提高。
通过对高考数学题型进行分析整合，可以发现近年来高考命题逐渐向多样性，开放性方向发展，考题中增加了应用题和情景题的比重，注重对学生创造性能力的考查，通过对知识的深刻理解实现对学生综合运用知识能力、学习思维、学习方法的检验。
例如，（2012·江西）高考数学就有一道要求利用线性规划，简单解答实际问题的题目：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
为使一年的种植总利润（总利润=总销售-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植单位分别为多少？
该题目的设计初衷就是要求学生学会从实际问题中抽象出二元线性规划，并通过限制条件和目标函数进行设元，写出约束条件和目标函数，利用目标函数所表示的直線与可行域边界直线斜率间的关系求解，考查的是线性规划知识在实际问题中的应用。
所以为取得更好的学习成绩，教师在高中教学时，要注意将基本的思想方法、数形结合思想和题型进行匹配，引导学生运用该方式对图形语言和符号语言进行综合应用。
二、 数形结合教学法对高中数学教学的意义
（一）有助于学生形成完整的数学概念
有效把握数学概念，可以帮助学生形成最基本的认知和学科素养，培养学生的学科思维和学科核心素质，帮助学生准确获取理论概念知识中的重点，并依据已有的知识结构对细节进行加工和深化，通过抽象思维的概念和思考方式，系统完整地了解理论知识、概念知识。
（二）有助于学生数学思维能力的发展
通过活跃的思维结构和思维方向构建丰富的内容，有利于学生观察几何图形，发现其内在含义，实现数形两方面知识的互换和联动，构建更高级的思维过程。通过对曲线、方程、函数、图像、空间、图形等内容的有效解析，将代数问题向几何问题转化，有利于学生运用几何有效解决高中数学问题，并探讨数学学科的知识内涵。
三、 数形结合教学方法在线性规划类问题教学中的应用——以高考数学题为例
（一）在概念的学习过程中渗透数形结合的思想
学习任何数学知识，首先都要从概念知识的了解入手，而想要进行深入的概念理解，必须经过形成概念、理解概念、应用概念三个层次，而在这一环节中，渗透数形结合的教育理念和思想方法是最正确和高效的。
如通过对钟表的认识和分析，可以向学生传达角的概念和含义的知识，或者借用实际物体，如绳子、格尺进行演示，总结其中所包含的曲线定义、图形定义。
在学习概念理论知识时，可以引入高考真题，从命题角度，为学生分析线性规划知识的考查重点，初步培养学生的数形结合思想，在解题与分析中提升学生的数形结合能力。
例如，（2017北京高考文科T4）
若x，y满足x≤3x+y≥2y≤x，则x+2y的最大值为 。
本题考查的就是在线性规划中求线性目标函数的最值问题，学生首先需要准确掌握线性目标函数最大值和最小值的基本含义，再利用线性约束条件，表示区域阴影部分，最终实现求解的目的。
教师也可以带领学生共同分析线性规划与纵截率、斜率、点到直线的距离等内容，引导学生在解答问题时运用数形结合方法，并强化需要理解和记忆的概念知识，打好学习基础。
（二）在解题过程中渗透数形结合的思想
数学知识的讲解和学生的学习最根本的目的，是通过对学生的有效引导，帮助学生培养良好的发现问题、解决问题的能力，让学生在解答时将自己已有的理论知识进行运用，变成个人解答问题的能力。在进行解答时，教师通过指导学生用数形结合的思想进行全方位的思考，可以让学生学到不同的解题方式。
将学生的数学运算能力和直观想象进行结合，贯穿数形结合思想的结题思路和方法，可以用几何对抽象数量的描述表示，以精细化的方式形成个人思考方向和思维结构，也可以通过数量关系为直观图形构建更丰富的层次，在解题中通过两种知识的有效结合，提升学生对知识的分析能力和解答能力，实现素质教育的最终目的。
例如，（2020高考全国Ⅲ卷，理数）
若x，y满足约束条件x+y≥02x-y≥0x≤1，则z=3x+2y的最大值为。
本题作为一道考查学生数形结合思维的简单线性规划题，解题关键在做出可行域，利用截距的几何意义：
第一步，开始几何作图：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线ax+by=0（目标函数为z=ax+by）;第二步，平行移动直线ax+by=0，确定使z=ax+by取得最值的点，具体做法是把z=ax+by（b≠0）变形为y=-a bx+z b，所以求z的最值可看成是求直线y=-a bx+z b在y轴上的截距z b的最值，将直线y=-a bx+z b平移，在可行域中观察使z b取得最值的点，并求出使z取得最值的点的坐标。
本题主要涉及约束条件、线性约束条件、最优解等线性规划中的基本概念，可引导学生利用二元一次不等式（组）表示平面区域的方法实现数形结合。
（三）在实际应用中，加强数形结合方法的训练
数形结合方法的有效应用，需要教师在教学中强化学生该思想方法的解题训练，通过教师的语言描述和解释，并赋予生活中的实际例子，为学生提供更多解题的机会，并在实践中验证个人的学习技巧，查找应用过程中的不足之处，并总结相应的经验和基础，充分利用课外活动或课外作业的形式，实现学生实践应用数学知识的能力培养，实现对于学生信息表达能力、实际建模能力、解决能力的有效培养，让学生在实际应用中找到解决问题、学习数学知识的快乐。
例如，（2017天津高考文科T16）
某电视台播放甲乙两套电视剧，每次播放连续剧时需要播放广告，已知每次播放甲乙两套电视剧时的连续播放时长、广告播放时长、收视人次如下：
已知电视台每周安排的甲乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x，y表示每周计划播出的甲乙两套连续剧的次数：
（1）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
本题主要考查目标函数在可行域中的最值问题，通过将问题情境与学生的生活实际进行结合，增加学生的解题热情，提高学生对知识的实际应用能力。解题的关键就是要明白题意，将题目中的信息转化成数学关系式，画出可行域，进而解决实际问题。
借助这一环节，可以及时检验学生利用数形结合思想解答线性规划问题的水平。对于那些仍然存疑的学生，可以进一步加深其理解，而对于那些已经掌握了这一学习技巧的学生，则可以让其进行知识迁移、举一反三。另外，课后延伸思考对于高中生数形结合意识与能力的提升也具有非常大的帮助。比如，在解决线性规划问题时，很多线性约束条件及线性目标函数都是确定的。对此，我们可以这样引导学生进行延伸思考：求出目标函数的最优解也许只是一个方面，如果题目当中要求结果为整数呢，那么它的最优解是什么？如果已知只有一个或者无数个最优解时，又该如何确定目标函数的取值范围呢？通过这些问题引发学生的思考，可以为后续教学活动创造有利条件，同时进一步促进学生对数形结合思想的理解。
（四）借助数学形合拓展学生的思维
在高中阶段，要想优质高效地开展数学教学，同时使学生具备较强的数学核心素养，教师需要借助数形结合思想培养学生的思维拓展能力，使学生在考虑问题时，善于突破自我设限，避免形成某种思维定式。
比如，教师引用2009年天津高考卷理科第9题，向学生渗透数形结合思想：
如图1所示，F为抛物线y2=2x的焦点，一行直线过点M（3，0）与抛物线相交于A、B两点，并且与抛物线的准线相交于C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比为S△BCF S△ACF=（ ）
因此，本题应选择A。
例题评析：在解析这一类几何题时，教师要引导学生运用拓展性思维，运用直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图的特点寻求解题思路，使难题得到巧妙解决。
四、 结语
综上所述，数形结合思想在高中数学中的有效应用，可以帮助学生对抽象代数知识和直观几何进行有效联系，实现对知识的深化理解和应用，在观察中找到问题，在分析中应用知识。这种方法不仅可以有效提升学生的学科核心素养和个人全面学习能力，还有助于学生在高考中可以取得更好的成绩，使学生把握住人生中难得的机会，实现对个人命运的把握。
参考文献：
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[2]钱军先，陈曦.揭示本质挖掘思想，学会思维提升素养：从2012年高考数学江苏卷第14题谈简单的线性规划问题的复习[J].中学数学杂志，2012（6）：47-49.
[3]尚影.数形结合思想在中学数学教学中的渗透研究[D].南昌：江西科技师范大学，2017.
[4]李勇霞.数形结合思想在高中数学教学中的有效渗透与应用案例研究[D].四平：吉林师范大学，2016.
作者簡介：
马永祯，甘肃省平凉市，甘肃省静宁县第二中学。
