顾万春
摘 要：“数学规则”是数学的重要组成部分。“数学规则”的课程主张依循教师对课程的理解，包括课程目标、课程资源和课程实施。作为数学规则的教学，可以回溯本源、严密构建和多向连接，让规则不断生发、生成和融合。
关键词：数学规则;课程主张;教学路径
从根本上说，数学知识包括“客观知识”和“主观知识”。客观知识是人类“生命·实践”智慧结晶，主观知识是个体“生命·实践”智慧结晶。客观知识包括数学概念、规则和思想方法等。数学规则包括法则、性质、定律、公式等。根据美国教育心理学家加涅学习层次分类，规则属于高阶学习。运用规则能发展学生思维，盘活学生想象，引领学生探索。
一、“数学规则”的课程主张
“数学规则”课程，主张依循教师对课程的理解和实践，基于数学本体和学生生命发展等多重视域，努力追寻本源化、理性化、序列化的数学教学，追寻数学规则内在生成、自然生长、科学生发。
1. 课程目标：聚焦“數学规则”意义
“数学规则”是一种数学的规定，必须遵守。数学教学，就是要让学生了解和认知各种规则。小学数学规则分布于各年级教材之中，如计数规则、计量规则、数的大小比较规则、读写数规则、四则运算规则等。通常情况下，由于教师总是认为规则是学生必须遵守的，因而对规则采用“告诉式”教学。比如，教学《用字母表示数》，对于数字和字母相乘的规则，教师总是直接出示规则，轻描淡写。如此，学生在书写时总是发生错误。其实，深究数字和字母相乘规则，就不难体验到书写的合理性。首先，因为数字是常量，而字母通常是变量，常量放在变量前;其次，这样书写避免了与字母幂的形式相混淆，如2a和a2，如a2就非常容易和a2相混淆。当教师在教学聚焦规则意义时，学生就能体会到数学规则的合理性，从而认同、理解、内化规则。
2. 课程资源：聚积“数学规则”源泉
尽管“数学规则”是规定的，但这种规定有着历史源泉，有必然性。在数学史上，规则产生并不是随心所欲的。作为教师，应当聚积规则源泉，让学生充分体验规则的合理、合情与合法（法度）。比如，教学“乘加和乘减混合运算”，教师要激发学生深度思考“为什么要先算乘除后算加减？”“不这样计算行吗？”教学中，一方面从生活中撷取素材，借助生活事例来让学生感受、体验计算规则的合理性;另一方面，从数学本源来梳理、发掘，启发学生计算思维。要求学生计算“39+39+39+39”，一开始，由于数39的个数比较小，学生还从左往右依次计算，随着算式变化，数39的个数越来越多，学生就自然将若干个39相加的和写成乘法形式，并自觉计算乘法。从中，学生深刻理解了“先算乘除，后算加减”这一四则混合运算的黄金规则。
3. 课程实施：聚力“数学规则”质态
对于规则，我们首先要让学生思考：规则是任意规定的，还是有道理的。只有让学生体认到规则的合理性，学生才能从根本上对规则展开自主探究。聚力规则之理，是数学教学的应然追求。比如，“0”为什么不能作除数？许多教师恐怕都不能言说清楚。事实上，我们可以采用反证法，假如“0”可作除数，那么就不能保证商的唯一性。再如，我们为什么规定“1既不是素数，也不是合数”？有教师从因数个数来解释。事实上，规定“1既不是素数也不是合数”，并不是分类要求，而是要保证对一个合数分解质因数的唯一性。如果将“1”纳入其中，每一个合数分解质因数的形式就不唯一了，可以写任意多个1。只有引导学生聚力于规则质态，才能让学生真正理解数学知识。这样的数学教学才是“活的数学”教学。
二、“数学规则”的教学路径
在加涅学习层次中，规则学习位居解决问题之下。可见，规则习得是规则运用的基础。一方面，规则诞生是循序渐进的，另一方面规则之间又是交叉联结的。一方面，要让学生经历规则形成过程;另一方面，要注意此规则与彼规则的内在关联。规则教学应当有序化、结构化和严密化。
1. 回溯本源，指向规则的生发
规则在数学教材中的存在形态是丰富的，有显性的、隐性的规则，有单一的、综合的规则等。隐性规则，要让学生多次感悟;重要规则，要多次渗透。有时，教师甚至要多次返回规则本源，寻求来自学生经验的向导、生活的启迪。
比如《乘法分配律》这一运算规则，尽管教师多次用字母表征，强化乘法分配律形式，但在计算时，学生老是将乘法分配律和结合律混淆。其实，学生在低年级就已经触碰“乘法分配律”，比如两位数乘两位数的竖式计算，比如长方形的周长计算等。这些知识都蕴藏着“乘法分配律”规则种子。笔者在教学中引导学生回溯本源，将学生头脑深处的内隐规则显性化，缄默规则可视化。借助计算长方形周长，让学生从图形意义上进行诠释;借助一道“两位数乘两位数”的竖式计算，让学生从算理意义上加以诠释，对竖式中每一步予以意义说明。如此，学生就能深刻理解乘法分配律的意义，而不仅仅是记住形式化的乘法分配律。当学生理解了规则意义，对规则形式也就能够自主表征了。比如，有学生用图形表征乘法分配律——“（△+☆）×○=△×○+☆×○”，有学生用文字表征——“两个数的和乘一个数等于分别用这两个数乘一个数，再求和”，有学生用符号表征——“（a+b）c=ac+bc”等。在回溯中，学生真正走进规则内部，感悟到规则真谛。
回溯规则源头，规则就不再是冰冷、生硬的，而是自然、充满温情的。当学生走进规则源头，就能形成一种对规则进行再创造的欲望、动力，就能用自己的方式去表征规则。尽管这种表征是肤浅的，甚至是幼稚的，但却是学生对规则的个性化解读。
2. 严密构建，指向规则的生成
在小学数学中，规则呈现通常有两种方式：一种是先例证后规则，即先呈现个例，然后归纳规则;另一种是先规则后例证，即先呈现规则，然后进行例证，或先呈现大规则，然后演绎小规则。无论是哪一种规则教学，教师都必须引导学生严密构建。在规则建构中，学生要进行上位学习、下位学习和并列学习。要让学生深度体验规则形成过程，渗透思想方法，导引数学规则应用，在生成与应用中架设互通桥梁。
教学《奇数和偶数》（苏教版五下），当学生理解了奇数就是单数、偶数就是双数后，笔者要求学生用字母表示奇数和偶数。一开始，学生不知从何处下手，更有学生索性既用自然数n表示偶数，又用自然数n表示奇数，显然学生没有掌握用字母表示奇数和偶数的规则。笔者提示学生，用字母表示奇数就是用字母概括奇数和偶数的特征。学生思考，奇数和偶数的特征是什么呢？他们从奇偶数意义展开思考，即偶数是2的倍数，奇数不是2的倍数。但这样的思考仍然是抽象的。为此，笔者让学生用“一一列举法”构建了两个数字方阵，第一个方阵是自然数方阵，第二个方阵是偶数方阵，引导学生比较。学生发现，偶数方阵中每个位置上的数恰好是自然数方阵中相对应位置数的2倍。由此，学生在两个方阵之间建构起“一一映射”的对应关系，也深刻理解了偶数意义。有学生感悟到，自然数是a，偶数就是2a，自然数是n，偶数就是2n。当学生深刻理解了用字母、符号表征偶数的规则后，奇数符号表征也就水到渠成了。
规则教学不是教师的灌输，而是教师的启发，是教师引导学生自主、严密建构。在上述教学中，从集合视角、映射视角，学生能深度理解用字母、符号表征奇数、偶数的规则。
3. 多向联结，指向规则的融合
规则不是单一、静态的，而是相互关联、动态的。教师要引导学生进行规则联结，让上位规则统摄下位规则，建构高阶规则。比如，“数”的学习就能启示“式”的学习，它们之间的规则具有相似性;又如，整数数位顺序、进率规则与小数数位顺序、进率规则就是相统一的，教学中就要将规则融合起来，形成数位顺序规则。引导学生发现规则逻辑意义，探寻规则联系，让新规则同化旧规则。
教学《两、三位数加减法笔算》，学生建构了“从个位加起，满十进一、退一当十”等规则。在后续学习“小数加减法”计算时，教师要将小数加减法和整数加减法的规则进行贯通，在学习“同分母分数相加减”“异分母分数相加减”等的计算法则时，同样要将前面的规则进行融合，形成一个包摄力更大、内涵更深的隐性的规则，即“只有计数单位相同才能直接相加或相减”。有了这样的规则融合，就能深化学生对算理的理解，为算法建构提供依据。
规则融合有两个条件，一是新规则高于或平行于原规则;二是原规则中有相关内容可供新规则融合、概括、归纳。引导学生将规则进行融合，连成片、结成网，将规则整合成“规则共同体”。如此，实现规则表征相互转换，形成规则结构、系统。
规则反映着事物规律，反映着数学规律。在小学数学中，规则有宏观规则、中观规则和微观规则。依循规则，才能让规则教学更科学、更艺术。这是一个不断数学化的过程，也是一个充满思辨的过程。在这个过程中，学生收获的不仅是知識，更是一种研究数学的能力、一种建构创造的素养。
