“平行线”邂逅“角平分线线”

刘祥华

中图分类号：G4 文献标识码：A

大家都知道，条件反射是一个生物上的名词。但是在数学的学习过程中也要学会形成条件反射，就是看到试题就应该马上联想起来某个数学模型。今天就和大家分享一种几何模型，就是当平行线遇到角平分线时，你能想起什么？这对搭档邂逅会擦除什么火花呢？我们一起来见证！

一、基本图形

已知： AB∥CD， CE平分∠ACD交AB于E.问⊿ACE是什么特殊三角形？

题目当中有平行线也有角的平分线，我们根据平行线和角平分线的性质以及等量代换，很容易证得∠1=∠3.即BC平分∠ACD，.又∵AB∥CD.∴∠2=∠3∴∠1=∠3  ∴AC=AE.

当我们看到平行线和角的平分线，我们就应该想到会形成等腰三角形.对于这个几何模型，大家一定要熟知，一定要形成条件反射，这对提高解题速度是必然的.

二、例题示范

1、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC。

求证：AB=AD。

证明：∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠ DBC 又∵AD∥BC∴∠ADB=∠ DBC ∴∠ADB=∠ ABD ∴AB=AD

2、把一張长方形纸条，像右图那样折叠，重合部分是什么形状？为什么？

∵△ DBF是△ DCB翻折得到的，∴△ DFB≌△ DBC∴∠DBF=∠ DBC又∵四边形ABCD是长方形∴AD∥BC∴∠EDB=∠ DBC∴∠EDB=∠ EBD∴EB=ED即△ EBD是等腰三角形.这两道题都是教材上的习题，

都是平行线完美邂逅了角平分线，擦出了等腰三角形这个漂亮的火花.利用上面的基本图形就可以得以解决，只不过第二题条件相对比较隐蔽利用.长方形的对边边是平行的，折叠后的两个图形全等，得到角相等，从而证得△ EBD是等腰三角形.所以当平行线邂逅了角平分线，我们就可以得到这样一个基本图形”平行线+角平分线=等腰三角形”

三、利用模型解题

已知（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.图中有个等腰三角形.猜想：EF与BE、CF之间有如何的关系，并说明理由.

（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中有_____个等腰三角形.

它们是____________________.EF与BE、CF间的关系是___________________.

（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中有_______个等腰三角形.EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由.

（1）5个，利用上面研究的几何模型，结合等腰三角形的判定方法，很容易得到△ BEO△ 、△CFO、△ABC 、△ AEF、△ BOC是等腰三角形.

∵BO平分∠ABC    ∴∠EBO=∠OBC   ∵EF∥BC∴∠EOB=∠OBC∴∠EOB=∠EBO ∴EO=EB  同理FO=FC

∴EF=EO+FO=BE+CF

（2）  2，△BEO， △CFO，  EF=BE+CF

（3）  2，     EF=BE—CF

∵BO平分∠ABC    ∴∠EBO=∠OBC   ∵EF∥BC∴∠EOB=∠OBC    ∴∠EOB=∠EBO ∴EO=EB.

同理FO=FC ∴EF=EO-FO=BE-CF

通过以上的探究，我们一定要懂得角平分线和平行线结合产生等腰三角形的问题.我们一定要形成一种条件反射，一旦发现平行线和角平分线，我们立马会想起这种模型.遇到的有的是基础题有的是压轴题，对于复杂的题目我们要学会在从复杂图形中挖掘出隐含的这种关系，这对提高大家的数学解题能力和解题速度会有很大的帮助作用。