方国敏+谢蔚
摘要：微元法是定积分中实用性很强的数学方法，许多几何、物理问题都可以通过微元法来解决。
关键词：微元法；面积；体积；曲线弧长；变力做功
定积分在解决实际问题中有着广泛的应用，许多几何、物理以及经济学问题中的量都可以用定积分来描述和计算。
一、 微元法在几何上的应用
1. 求平面图形的面积
用微元法求平面图形面积的步骤：
第一步：根据实际问题选取积分变量x或y，并确定其取值范围x∈[a，b]或y∈[c，d]；
第二步：取子区间[x，x+dx]（或[y，y+dy]），作矩形并用x（或y）处的高f（x）（或φ（y））作为矩形的高，使其面积为f（x）dx（或φ（y）dy）代替小曲边梯形的面积，面积的微元表达式ds=f（x）dx（或ds=φ（y）dy）；
第三步：在整个区间上取定积分，得平面图形的面积S=∫baf（x）dx（或S=∫dcφ（y）dy）。
例1求抛物线y=2-x2和y=x2所围成平面图形的面积。
解：解由方程y=2-x2和y=x2组成的方程组得交点A（-1，1），B（1，1），
选取积分变量x∈[-1，1]，则面积的微元表达式为：dS=（2-2x2）dx，
取定积分即可得平面图形面积S=∫1-1（2-2x2）dx=4∫10（1-x2）dx=4[x-x23]10=83。
2. 求旋转体的体积
用微元法求旋转体体积的步骤：
第一步：根据问题选取积分变量x或y，并求出取值范围x∈[a，b]或y∈[c，d]；
第二步：取子区间[x，x+dx]（或[y，y+dy]），在子区间上小旋转体的体积可用以f（x）为半径，dx为高（或以φ（y）为半径，dy为高）的小圆柱的体积近似代替，而小圆柱的体积为dV=πf2（x）dx（或dV=πφ2（y）dy）；
第三步：在整个区间上取定积分，得旋转体的体积V=π∫baf（x）dx（或V=π∫dcφ（y）dy）。
例2求由抛物线y=x2与直线抛物线x=3及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：解由方程y=x2及x=3和y=0组成的方程组得交点（3，9），
选取积分变量x∈[0，3]，可得旋转体体积的微元表达式为dV=πx4dx，
在整个区间上取定积分，得旋转体的体积V=π∫30x4dx=[π15x5]30=2435π。
3. 求平面曲线的弧长
设曲线由直角坐标方程y=f（x）（a≤x≤b）表示，f（x）在[a，b]上具有一阶导数，计算该曲线的弧长。
取x为积分变量，x∈[a，b]，曲线y=f（x）相应于[a，b]上任一小区间[x，x+dx]的一段弧的长度，可以用该曲线在（x，f（x））处的切线上相应的一小段长度来近似代替，而切线上这一小段的长度为ds=（dx）2+（dy）2=1+y′2dx，在闭区间[a，b]上取定积分，可得曲线的弧长为s=∫ba1+y′2dx。
例3计算y=x2在[0，2]上的长度。
解：因为y′=2x，故弧长为s=∫ba1+y′2dx=∫201+（2x）2dx=17+ln（4+17）4。
二、 微元法在物理上的应用
1. 变力做功
设物体在力F=f（x）的作用下沿直线运动，力的方向与物体运动方向一致，求物体从A点到B点时力F对其所做的功。
選取x为积分变量，且x∈[a，b]，在任一小区间[x，x+dx]上，变力F所做功的总量的微元为dW=Fdx=f（x）dx，所以，变力F所做的功W=∫baf（x）dx。
例4现有一个圆台形容器，高为5米，上底圆半径为3米，下底圆半径为2米，试问将容器内盛满的水全部吸出需要做多少功？
解：建立如图所示的直角坐标系，选取水的深度y为积分变量，且y∈[0，5]。设将[0，5]中相应于任意子区间[y，y+dy]上这层水提取出容器外所做的功为ΔW。因为直线AB的方程为y=-5（x-3），所以该层水的质量为ρ·πx2dy=πρ（3-y5）2dy，其中ρ为水的密度，ρ=1000 kg/m3。该层水提出容器外的位移为y，于是将它吸出容器外需要做功的近似值，即功的微元为dW=1000π（3-y5）2ydy。
因此，W=∫501000π（3-y5）2ydy≈2116.8（kJ）
2. 引力
在物理学中，质量为m1和m2，相距为r的两质点间的引力为F=km1m2r2（k为常数）。
例5设有一均匀的细杆，长为l，质量为M，另有一质量为m的质点位于细杆所在的直线上，且到杆的近端距离为a，求杆与质点之间的引力。
解：建立直角坐标系，选取积分变量x∈[0，l]，在[0，l]中任取的子区间[x，x+dx]上细杆的相应小段的质量为Mldx。该小段与质点距离近似为x+a，则该小段与质点的引力近似值，即引力F的微元为dF=km·Mldx（x+a）2。
所以，细杆与质点之间的引力为F=kmMl∫l0dx（x+a）2=kmMa（a+l）。
参考文献：
[1]李玉萍，张金诺.例谈定积分的应用[J].教育信息，2016，（6）：116-117.
[2]邢健，徐立新.定积分的应用举例[J].考试周刊，2015，（44）：56.
作者简介：
方国敏，谢蔚，云南省曲靖医学高等专科学校。endprint
