《矩形中的折叠问题》教学案例分析

王晓娟

中图分类号：G4 文献标识码：A

矩形在生活中处处可见，应用广泛，矩形中的折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显. 这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求. 因此关注、学习矩形中的折叠问题是初中几何教学的一个难点。

折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质，借助辅助线构造直角三角形或利用特殊角度等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰。另一方面，通过操作、画图、解题，理解矩形中折叠问题的本质，掌握数学方法和技能，进一步提高学生综合解决数学问题的能力。

人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》章末（第64—65页）有一节数学活动课：其中数学活动1：折纸做60 °，30°，15°的角; 数学活动2：黄金矩形，内容都涉及《矩形中的折叠问题》，这样的教学内容，大多数学生没有老师的鼓励和引导，不会主动去探索其中的奥秘。为了让学生掌握折叠问题的数学本质，又能提高学生解决数学问题的能力，通过反复研究教材内容和学生的学习现状，我确定了“操作——引导——探究”的教学模式。具体要求学生课前准备：几张白纸，身份证或电话卡、计算器、三角板等、 查资料了解黄金矩形的应用; 课前预习教材内容，尝试按要求折叠;课堂上先用学生较熟悉的课本习题引入，做好铺垫， 接下来展开数学活动，学生先自己折叠，标注字母，在小组内比较、讨论，提出疑问探讨、交流解决问题的方法;探究活动2后教师趁机介绍生活中黄金矩形的应用，提升学生学习数学的兴趣;最后以“本”为本、设计变式练习，学以致用，提升解题能力。上述教学过程的目的让学生积极主动地探究，期望群体性主体参与率高，创新性思维活跃，使学生真正获得自主学习的成功乐趣，促进学生主动发展。

一、细致的课前准备和课前预习为课堂教学实施提供了良好的前提。

众所周知，上数学活动课费时、费心、费力，老师、学生都要投入精力准备教具、学具，虽然准备过程长，细节问题多，但学生在实际操作过程中的感悟和收获是真实有效的。如果怕麻烦而由老师代劳，学生就没有自己探究的机会，这样获得的知识印象也不深刻，也失去了数学活动课的意义。我根据教材内容要求学生准备几张白纸，并鼓励学生（特别是学困生）按步骤尝试折叠，以免课堂教学时手忙脚乱;要求准备身份证或电话卡、计算器、三角板等，目的是通过测量、计算，体会黄金矩形的广泛应用;查资料了解黄金矩形的应用，目的是增长见识，体会数学的“美”和实际应用。

从课堂效果看，这些准备使抽象的数学知识变得生动起来，使课本知识有了实际生活的依托，从而更让人信服，也不断在验证数学知识源于生活又服务于生活，所以要学以致用.

二、复习引入由浅入深，为课堂教学做好了铺垫。

复习环节用学生比较熟悉的课本习题：人教版八年级上册79页第2题和八年级下册59页第1题引入，它们凸显的主题是图形的折叠，简单常用，作为引例，复习旧知、明白折叠问题的实质是图形的轴对称变换，根据轴对称的性质可以得到：折叠后重合的部分一定全等;折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合的两点（对称点）之间的连线段必被折痕垂直平分;对称的两点与对称轴上任意一点连接所得的两条线段相等;对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解之，从而点出课题.另外第二题的作用是为了复习特殊平行四边形的知识，承上启下，为探究2的进一步说理做好准备.

从课堂效果看，老师用几何画板演示的折叠过程，对学生体会折叠的实质是轴对称，及对复习轴对称的性质帮助很大.学生对第（2）题的说理耗时太久，原因是对正方形的判定方法似是而非，证明层次含混不清，通过交流、引导（必要时板书），最后达成共识。

三、精心设计、组织数学活动，引导学生小组合作，积极主动地探究新知识。

1、数学活动1：折纸做60°，30°，15°的角。课本叙述简单，学生实际操作时会有点摸不着头脑，因此老师课件展示折叠过程分为折痕EF和折痕BM两步进行，

要求学生先自己阅读课本、尝试折叠，之后小组内对比、交流、检查折纸情况，并标注字母为说理做准备。学生投入思考，从表情看出无从下手者居多，所以此时老师考虑给出适当的提示：可否构造含30度角的特殊的直角三角形？或给出一道做过的习题（若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数等于多少度？）来启发学生思考。

从课堂效果看，学生在提示后能想到作NG⊥BC，证明△ABM≌△NBG，则直角三角形中NG=BN，从而可得∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°.）但若这样证明则要用到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 这个定理现行教材中没有涉及到，在这儿用就要先证明它的正确性，比较麻烦. 顺势提出：如果直接运用轴对称思想说理是否会更简洁？比如图中有等边三角形吗？学生讨论后提出：连结AN，则AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN為等边三角形，所以∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°.通过两种方法的比较，也让学生充分体会了利用轴对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活.

2、数学活动2：黄金矩形。老师先展示了巴特农神庙的照片，简单叙述了它的历史，又安排学生测量了自己的身份证或电话卡的宽与长，用计算器求出比值，说明黄金矩形在生活中的应用，激发起了学生探究下去的欲望;这个折纸过程复杂，学生需要较长时间完成，少部分学生不能完成第三步折痕AG，点D的位置找不准，需要小组成员或老师协助，之后小组内对比、交流、检查折纸情况，并标注字母为说理做准备。