一题多解深挖例题教学功能多解归一培养数学思维能力

李海英

摘要：数学素有“科学之父”的美称，作为一门基础性学科，它对于科学发展的重要作用不言而喻，对于学生们而言，数学几乎贯穿了他们学习的生涯始终，足以见得数学在各学段教育当中的重要地位，但由于数学学科的灵活性较强，相对其他学科而言难度较大，尤其在初中阶段， “老大难”对于数学学习或者解题而言，发散与类比思维的运用是十分重要的，本文将阐述数学题的一题多解对于提高学生数学能力的意义。以及简要结合一些具体实例，探讨如何利用一题多解挖掘例题的教学功能。

关键词：例题;教学功能;一题多解;意义

中图分类号：G4 文献标识码：A

引言

对于中学阶段的数学教育而言，主要是训练学生的解题能力，并在这个过程当中，培养学生形成数学思维，而归纳正是一种很重要的数学思维，这一思维的运用在高中阶段的数学学习，尤其是数列的学习当中有更加明显的展现，而在初中阶段，归纳思维的应用主要是体现在不同知识点的相互关联上，借助一题多解的方式，让学生把握住不同知识点与方法之间的内在联系，从而进一步利用归纳思维，将知识点串联起来，做到融会贯通，举一反三，提高学生对于类似问题的解决能力，同时加深对于知识和方法的理解[1]。

一、一题多解对于提高学生数学能力的意义

数学思维除了要求学生对数学学科的基础知识有足够熟练的掌握之外，还需要学生具有挖掘问题中的隐藏条件、并建立实际问题的数学模型进行类比的能力，这基本上已经成为数学教育领域的一个共识。如果教师能够在实际的教学过程当中，合理的利用一题多解，可以有效的培养学生把握问题共性和差异的能力，共性主要体现在对于同一道题而言，它的条件、要求与背景是相同的，尽管解法思路上不尽相同，但核心的思想与知识体系是存在关联甚至一致的，差异性主要体现在解题的具体思路上，比方说对于未知数较多的实际问题当中，我们通常会采用方程去解决问题，尽管等式的建立所利用的条件和方程的具体表达方式，计算方法会存在不同，但本质上都是利用方程思想，设置未知参量，建立等式来解决问题。具体来看这道题

例1  两个数的积是323，并且这两个数是相邻的奇数，求出这两个数

解1：设其中一个较小奇数为x，则另一个奇数为x+2，有

x（x+2）=323

x2+2x=323

x1=17，x2=-19

解2 设其中较小的奇数为x-1，则另一个奇数为x+1，有

（x-1）（x+1）=323

x2-1=323

x1=18，x2=-18

从这道题的两种解法当中，我们不难发现，第1种解法是直接将所求奇数设为未知数，来建立数量关系，从而求解。而第2种方法，则是将两个奇数之间的那个偶数设为未知数，来建立数量关系求解。这两种方法由于解题出发点不一样，导致了未知数设立上的差异和方程在具体的形式上存在不同，但本质上都是利用方程思想，建立两个奇数与323这个积之间的关系。这就是两种方法之间的共性。

二、如何利用一题多解发挥出例题的教学功能

要想充分的利用好一题多解来培养学生的数学思维，例题的选取是十分重要的，初中的数学教材经历了多年的改编，但在教材当中有部分经典而且浅显的例题一直“屹立不倒”。在数学教材的编纂，对例题的筛选可以说慎之又慎，在实际的教学过程中，教师除了积极在课外选取合适的例题之外，还要充分利用好教材例题，运用一题多解挖掘例题的教学功能。在人教版初中数学九年级下册第28章锐角三角函数中有这样的一道题：

如图，在Rt   ABC中∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）

解法1：∠A=180°-∠C-∠B=90°-35°= 55°∵tanB=b/a

∴a=b/tanB≈28.6

∵sinB=b/c

∴c=b/sinB≈34.6

这是教材当中给出的解法，实际上，对于不同的切入点会带来不同的解题思路。如果利用sinB，導出c的值，则可以利用 sinA来计算a的值，而且由于本题是一个直角三角形，在确定a，b，c三者当中两者的值以后，还可以使用勾股定理a2+b2=c2来计算剩下的边长。

虽然这道例题的难度相对较低，但是如果利用一题多解，充分挖掘出这道题背后的知识内容，那么它能够发挥出比高难度题目更大的作用。具体来说，在解法1当中，使用的是纯粹的锐角三角函数方法来进行求解。而对于后面提到的由由解法一延伸出的其他解法，尤其是利用勾股定理去求出余下的第三边边长这种方法，一方面，勾股定理作为人教版初中数学八年级教材中的内容，这样的解法可以带领学生有效的回顾所学知识。另一方面，也可以结合教材前面的锐角三角函数引入的内容，加深学生对于勾股定理与锐角三角函数之间的联系的认识，从而更深层次的理解锐角三角函数的本质，方便学生记忆和锐角三角函数相关的内容。

当然，要充分利用教材例题最好是将一题多解与一题多变的方式相结合，这样除了能培养学生的发散和归纳思维，把握知识点的内在联系。还能训练学生的类比思维，强化他们对于不同题目的共性感知[2]。

三、结束语

总而言之，一题多解对于培养学生形成归纳和发散的数学思维具有重要的意义和关键性作用，广大中学教师要想进一步提升学生的数学素养，就需要合理的利用各类资源，运用一题多解和一题多变相结合的形式充分挖掘教材中例题的教学功能，使教材中的例题发挥出更大的价值。

参考文献

[1]钟顺荣. 一题多解深挖例题教学功能多解归一培养数学思维能力[J]. 福建中学数2015，000（011）：11-13.