摘 要：乘法分配律是一种运算定律，是学习化简式、因式分解等知识的基础。由于其内容本身的难度大，教师教学方式单一，以及学生对乘法分配律的定律理解不够到位，导致理解滞留在表面。为此，文章对乘法分配律定律的构建和运用定律简算的教学进行了新的思考，以新的“着力点”为支撑，为乘法分配律的教学衔接找到了一些具体、科学的教学策略。
关键词：预学单;着力点;衔接
一、 研究背景
直面现状：一次作业调查引发的思考
乘法分配律是在学生已经掌握了乘法交换律、结合律的基础上教学的，在人教版四至六年级中均有涉及与运用，其是小学阶段中简便计算的前提和依据。在教学中，学生对于乘法分配律的模型和运用定律简算的方法极易出错。笔者对四五年级的学生进行了对比调查，从统计数据中，我们看到了一些不足：
1. 定律理解不够到位
乘法分配律的数学定律是很严谨的，它具有一定的抽象性。四年级的学生在描述乘法分配律的特点时，理解过于片面，只从符号角度考虑它的意义，缺乏对算理的理解。
2. 混淆相近定律意义
小学生的思维缺乏严密性，在建构的过程中乘法分配律的模型，很容易与已学的乘法结合律混淆，学生无法辨析两者的意义和形式，算理和算法脱节，解题时受到表象干扰。
3. 定律挖掘深度不够
经过对比测试，发现四升五的阶段只是数的形式发生了变化，我们要关注乘法分配律的衔接发展，使得每个学生在不同的阶段都有质的飞跃，为学生的终身学习打好基础。
二、 研究内容
（一）寻着力点——运用“预学单”做好课前衔接
1. 策划“预学单”，实现“等式”和“模型”过渡
《义务教育数学课程标准2021版》（以下简称《课程标准》）指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。因此，在设计“乘法分配律”这一课例的预学单时，笔者选取了更为贴近学生生活经验的多样材料，帮助学生理解“乘法分配律”的意义，建构它的数学模型。
（1）借助生活材料
以学生熟悉的生活情境为生活材料作为乘法分配律的切入口，帮助学生搭建新旧知识沟通的桥梁，使生活中的事实材料以“等式”的形式过渡到数学中的“算理”，为“乘法分配律”模型构建做辅垫。
五（2）班男生25名，女生19名，他们乘坐大巴去红山农场基地学习，如果每人车费4元，那么车费需要多少元？
（2）借助图形材料
笔者借助直观的几何图形材料，通过数形结合的方式，利用学生已有的“周长知识”，通过等式帮助学生直观而有效地抽象出它的算理，再次为“乘法分配律”的模型构建奠定扎實的基础。
某小学生操场呈长方形，长75米，宽25米，你能算出操场的周长是多少吗？
（3）悟透丰富材料
材料反思：
①以上材料，我们都用两种算术方法解答，请挑其中一题，讲讲每个算式的含义。
②翻开书本第26页，自主预习乘法分配律，并读两遍乘法分配律的概念。
③除了书本上提示的用字母表示乘法分配律，还可以用什么符号来表示等式？
④写一写自己的疑惑。
笔者设计一系列的材料反思，旨在用可视化的方式，让学生“悟透”乘法分配律，慢慢感受到“数学”“数学学习”是怎么回事，领悟知识背后的思想方法，并能灵活应用此方法。实现“等式”到“模型”的过渡。
2. 脉诊“预学单”，实现“已知”和“未知”的衔接
新课程有效课堂教学的主体是学生，只有了解学生的真实状态，才能为有效的教学提供保障。在回收起来的“预学单”作业中，笔者发现学生对“乘法分配律”的认识已经具备一定的生活经验，教师通过脉诊“预学单”，实现了“已知”和“未知”的衔接。
3. 精准“预设计”，实现“预设”与“生成”的衔接
通过“预学单”的设计与评价，让笔者更了解学生“已知”与“未知”的衔接点，从而更精准地预想到学生在学习过程中可能出现的盲点与难点，使教学设计的着力点与学生的起点、认知点完全吻合。
（二）生成课堂——以“思维主线”做好衔接发展
1. 巧设疑问，实现“内涵”与“外延”的衔接
乘法分配律的内涵在人教版四年级下册数学教材中已有明确定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。由于内涵描述范围较小，作为教师，不要急于把定义或结论直接告诉学生，而是要通过“巧设疑问”的形式，把握教学契机，不断拓宽延伸它的外延，促进乘法分配律内涵与外延的有效衔接。
（1）挖掘乘法分配律的内涵之美
【案例】我们班男生25名，女生19名，乘大巴去红山劳动基地学习，如果每人车费4元，那么车费需要多少元？
师：这两种方法结果一样，算式有什么不同点？又有什么联系？
看似简单的疑问，学生的思维却激起千层浪，他们对乘法分配律的模型渐渐地有了一些理解，概括时顺畅且准确。
【案例】学生操场呈长方形，长75米，宽25米，你能算出操场的周长是多少吗？
师：材料2的等式与材料1的等式类同吗？
两次设问中，学生的思路打通了，感悟到生活中处处有乘法分配律模型的存在。
【案例】师：孩子们，如果只有左边的式子，它还叫乘法分配律吗？
在激烈的讨论声中，我们最后达成共识：乘法分配律是一个整体的认识，只有左边和右边都不能单独说乘法分配律，准确地说，要符合“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。”那才叫乘法分配律。有了这样的讨论、分析、归纳，学生基本上就理解乘法分配律的内涵。
【案例】56×（100+1）=56×100+1、25×（4×8）=25×4+25×8;
师：这两个等式是乘法分配律吗？
果真，有很多学生落入了这个“陷阱”，在激烈的争论中，终于成功地让他们从两个定律思维定式中跳出来，顿悟乘法分配律的内涵。
（2）丰富乘法分配律的外延表征
乘法分配律概念一直是教学的难点，极易受某些外在因素干扰。为此，只有丰富它的外延表征，学生对于乘法分配律的模型才会稳固建立。
【案例】师：大家有什么好方法能帮助我们记住乘法分配律这个概念？如果这个等式的左右反一反，它还是乘法分配律吗？
在讨论中，孩子们渐渐地意识到，反过来其实也属于乘法分配律，只是正向描述与逆向描述的区别罢了。
【案例】师：像以下这样的等式属于乘法分配律吗？
172×25-72×25=（172-72）×25;72×25+27×25+25=（72+27+1）×25？
這一巧妙的设问，无疑给学生带来了新的思维冲击，从概念的内涵逐渐拓宽到它的外延，进而加深对乘法分配律的理解。
（3）内联乘法分配律的外延之妙
“乘法分配律”这一概念的模型建立后，后期我们仍需要不断地巩固强化，并结合生活实际，感受到它的灵活性。
简便运算：36×99 36×101 54×8+49×8-3×8
师：完成了以上几题的计算，你对乘法分配律又有了哪些新的认识？
有的学生说：其实在没学习乘法分配律之前，我们就已经在运用它了，只不过，那时还不知道它的名字。有的学生说：乘法分配律真的很神奇，今天这堂课，我收获很大，我懂得了乘法分配律既可以正向运用，也可以逆向运用，范围和用途都很广泛。
2. 着眼整体，实现“部分”和“整体”的衔接
比较人教版的小学数学教材，我们发现，它们在关注知识的重点、深度、广度等方面都是不同的。为此，对这些知识，笔者做了有效的衔接。
（1）简算题型的融合
乘法分配律对四年级学生来说并不是一个陌生的问题，而是熟悉的旧知识，教学过程只要唤起学生的已有知识，通过创设情境，让学生认识“知识的来源”，用“乘法分配律”赋予知识新的命名即可。
平时，笔者根据乘法分配律的特点和学生的接受能力，设计了阶梯式的五种题目，帮助学生掌握定律的规则，提高简便计算的灵活程度。
基础型：①（400+40+4）×25 ②125×（8+3） ③26×57+43×26 ④99×57+5×57-4×57
拆补型：①198×23 ②201×23 ③99×101
添1型：①99×99+99 ②101×101-101 ③99×101-99 ④99×53-53+2×53
易错型：①125×（80+8） ②125×（8×11）
构造型：①333×19+999×27 ②48×88+36×16
（2）数型转换的融合
乘法分配律的定律由整数推广到小数，舍去了教学情境环节，运算结构仍然相似。虽然四年级已经对乘法分配律进行了教学，但这个知识点依然是重点。教师应继续依托教学情境，分析数和式子的特点，注重知识的迁移和类比，达到乘法分配律的二次建模。
【案例】师：请同学们回顾什么是乘法分配律？用语言描述一下。（生：略）
师：你能用字母表示乘法分配律吗？（生：略）
新问题的解决总是伴随着旧知识的积累和运用，借此回顾乘法分配律的意义和字母表达式，为学生领悟新内容做好了辅垫。
【案例】一辆火车以72千米/时的速度从甲地开往乙地，一辆轿车以78千米/时的速度同时从乙地开往甲地，0.8小时后它们相遇。甲、乙两地相距多少千米？
师展示两种方法
师：这两种方法有什么联系？（生：略）
师：它跟我们四年级时学的乘法分配律一样吗？（生：略）
教师借助数学情境，依托“行程问题”说出乘法分配律的意义，在解决问题的过程中，帮助学生理解乘法分配律的特征。在比较中，学生类比迁移运用乘法分配律，并知道乘法分配律的运用不仅会在数的形式上发生改变。
（3）转化思想的融合
乘法分配律的定律由整数、小数推广到分数，除了灵活变换数的类型，还增添了“除法变乘法”的转型，渗透了数学中的转化思想。
【案例】简便计算
学生独立完成后，汇报方法。
师：在以上练习中，学生都想了不同的方法解决，我们能不能给这些方法分一分类？
学生分类情况：
在分类这一教学活动中，学生对乘法分配律的运用有了更深刻的认识。在变式应用中，又再现了乘法分配律的所有类型，有基础型、拆补型、添1型、构造型、转化型等。练习中，提高了学生分析归纳能力，还能培养学生综合解决实际问题的能力，使乘法分配律的学习真正从发展期过渡到成熟期。
3. 着力思维，实现“简单”与“多元”的衔接
（1）小升初衔接
【案例】
小学问题：你能用图形结合的方式解释乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c吗？
初中问题：你能用图形结合的方式解释（a+b）×（a+b）=a2+2ab+b2吗？
小学阶段，我们一般只结合教材，利用数形结合的思想帮助学生理解乘法分配律的模型，即（a+b）×c=a×c+b×c。
而升入初中，学生会接触到“多项式乘法”和平方和公式。其实，根据学生的已有水平，五年级时便可以加入初中阶段的开放性问题，即“（a+b）×c”可变式为“（a+b）×（a+b）”，用数形结合思想，帮助学生理解乘法分配律的变形方法。在学习中，开阔了学生的视野，学生在积极主动的思索中，悟出了小学阶段与初中阶段的联系，并提高了学生解决问题的能力。
【案例】小学问题：
简便计算
63×57-63+63×44〖DW2〗33×34+99×22
这两种类型在小学数学简算中比较多见，一般情况下，利用乘法分配律简算时，都是先找出一个相同的因数，如果公因数不明显，就利用两个因数的倍数，变出一个相同的因数，然后运用乘法分配律的逆向式来解决。
初中问题：
升入初中时，“找出相同的因数”被命名为“提取公因数”。虽然提取公因数属于初中的教学内容，但是教师可以在六年级时渗透“提取公因数”的概念和方法，来解决以上的简算题。
（2）课内外衔接
在乘法分配律运用中，我们可以把一些发散性的数学知识以“微课录播”的形式展示给学生，满足他们的实际需求，让他们对乘法分配律进行深层次的理解，为学生的后续学习奠定基础。
【案例】五年级数学：
（1+0.12+0.23）×（0.12+0.23+0.34）-（1+0.12+0.23+0.34）×（0.12+0.23）
六年级数学：
针对乘法分配律变形方式，笔者结合PPT录制了一个微视频，详细讲解了“乘法分配律”与“换元法”相结合的一种简算模型，分享给班里的尖子生，让他们根据自己的需要进行课外知识的拓展学习。这种微课形式，改变了原有的学习方式，给学生一种新鲜感，加深了学生对知识的印象，给学生思维发散提供了充实的保障。
参考文献：
[1]张闪.浅谈中小学数学教学的衔接问题[J].新课程改革与实践，2009（13）：20-23.
[2]张梁，裘斐.基于算理理解的定律模型教学策略[J].教学月刊，2020（6）：49-52.
作者简介：
徐爱红，浙江省杭州市，浙江省杭州市萧山区任伯年小学。
