摘 要：聚焦2020年高考试题，数学试卷上出现钢琴黑白键这一现象引起了广泛讨论。如何应对高考试题创新中出现的变数再次成为热议话题。文章将回顾历年高考及模考数学真题中的“乐理题”，分析其具体知识考查重点，并试图指出：高考题中音乐题频繁出现，恰恰是落实1952年以来，教育部课程标准对“注重数学文化的渗透，提升学生应用数学解决实际问题的能力”这一条标准的要求。对数学建模思想应用于生活艺术诸领域的考察，正是对数学核心素养的考查。对此，我们应该着重培养灵活运用高中数学基础知识的能力，锻炼学生在生活实践情境中解决数学问题的能力，培养学生的学科意识与问题关切。
关键词：高考数学;音乐与数学;数学建模
聚焦2020年高考试题，数学试卷上出现钢琴黑白键这一现象引起了广泛讨论。媒体纷纷评论：“从小学钢琴的孩子有福了。”从一方面看，这种说法固然有其合理性，加强对中学学生的美学教育不但是教育部推进素质教育改革发展的要求，也是时代发展的必然趋势。另一方面，这种说法也必然会引起另一个问题：难道不会钢琴的孩子就一定做不出这道高考数学题吗？答案当然是否定的。如果我们进一步深入分析命题人的出题思路，我们就会发现：高考题中音乐题频繁出现，事实上是对将数学建模思想应用于生活实践情境能力的考查，这并不强求学生具备相关的乐理知识。
需要进一步澄清的是：音乐与数学并非两个毫不相干的学科，恰恰是数学建模思维的发展，赋予我们认识文化生活实践诸领域一个新的维度。因而，高考试题中出现乐理题并不是出人意料的超纲，而恰恰是教育部课程标准对“注重数学文化的渗透，提升学生应用数学解决实际问题的能力”这一条标准的要求。面对高考数学试题的创新沿革，我们需要担忧的恰恰不是“如何补充领域外的知识来应对考查范围的变数”，而是如何用数学建模思维统摄生活中的杂多。简而言之便是：用数学思想渗透生活实践，数学不仅仅在试题本上，也在生活中。对数学建模思想应用于生活艺术诸领域的考查，正是对数学核心素养的考查。
同时，我们也需要意识到，2020全国2卷文科高考数学题中出现乐理题，或者更宽泛地来说，高考数学题中出现与艺术美育相关的题，并不是一个个别现象。如果我们追踪五年内各省市高考题和模拟试题，我们会发现这种通过构建生活情境来检验学生数学思维能力与建模能力的考查思路与方法，在近几年数学考试命题中是一脉相承的。因此，在对高考数学进行准备复习工作时，我们聚焦题目考查的重点、方法与思路，培养学生在生活实践情境中灵活运用数学建模思维发现和解决问题的能力。
文章主要分为三个部分，首先，我们将回顾历年高考及模考数学真题，给出较为合理的解题方法，并分析其具体知识考查重点。其次，我们将进一步分析命题人的考查重点与考查思路对学生相应能力的要求。最后，我们将着眼于这些要求，探索如何针对这类题目的命题思路，培养学生的相关能力，以应对考试。
一、 试题解法分析
（一）2020全国卷二文科高考数学第3题分析
题目：如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2…a12，设1≤i≤j≤k≤12，若k-j=3且j-i=4，则称ai，aj，ak，为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦，用这12键可以构成原位大三和弦与原位小三和弦的个数为（ ）
A. 5
B. 8
C. 10
D. 15
这道题目看上去较为抽象复杂，事实上用排列组合中的简单列举法就可以解出。
综上，一共有10个，答案选C。
如果学生有过学过键盘乐器的经验，确实容易对此类生活情境有着更直观的把握。但事实上，命题人在这里引入钢琴键盘，并不是为了考查学生的乐理知识，而是要考查学生在生活实践情境中灵活运用相关知识的能力。另一点需要澄清的是：要解答这道试题需要的并不是额外的乐理知识，事实上，解答这道题所需要的乐理知识已经以数学模型的方式在题目中表达了出来。更具体地说，命题人在题目中已经对黑白键进行了数学符号化，将原位大三和弦和原位小三和弦的定理用数学公式表达出来，为考生对陌生领域的把握提供了桥梁，因而已经将音乐问题转化成了数学问题。恰恰是通过数学桥梁的搭建，学生能够用最基础的排列组合知识，解决陌生领域的问题。
数学建模在生活情境中的运用远不止于此，《普通高中课程标准》中明确指出：“音乐的要素都与数学相关，特别是音的律制与数学的关系十分密切。”2018年北京高考数学第2题道选择题就精确贴合课程标准，考察了学生运用数学方法解决律制问题的能力。
（二）2018年北京高考数学第2题分析
题目：“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。十二平均律将一个纯八度音程分为十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）
A. 32f
B. 322f
C. 1225f
D. 1227f
這道题是建立了等比数列模型，需要运用的基础知识点是幂指数的运算，是高中数学必修一的基础知识点之一。如果说上一题是在生活情境之上构建数学模型，那么这道题则是与音乐领域用数学表达的既有范式有关。作为给乐器人声调音校准的范式，五度相生律、纯律、十二平均律等律制的演变革新恰恰与人类历史上数学的进展密切相关。培养学生的学科意识和学科关切，扩展学生的学科视野近些年愈发被重视，因此，音乐与数学模块作为D类选修课程变得愈发重要起来。
以上选择的两道题目都是高考数学试题中出现乐理题的典型案例。事实上，回溯历年高考数学及模拟真题，有不少试题涉及音乐及相关艺术文化实践场景。选择这两道题目作为示例的原因是：首先，这两道题目均为高考真题，在一定程度上代表了近几年高考命题的命题思路和方向;其次，这两道试题较好地体现了数学与音乐深度结合的思路。在第一道题中，命题人用数学建模的方法较为精简准确地概括了抽象的和声学知识，将黑白琴键数字化、符号化，不仅符合课程标准规定的考察重点，也切实符合当代音乐研究的发展方向。在第二道题中，命题人用短短几十字揭示了数学科学发展与律学变革的关系，体现了命题人相当精深数学科学史素养，这种历史的跨学科思维与素养是近年来中学数学教育新的侧重点。
二、 音乐题的特点与能力考察重点分析
在对历年高考及模拟数学真题中音乐相关试题的调研中，我们发现高考中音乐相关的题一般有以下特点：
（一）这类题目考察的知识点较为基础，并未涉及二级公式或额外的理论知识
这是因为这类题型考查的重点在于学生在生活情境中灵活运用数学知识的能力，在理论与实践的辩证中偏向实践那端。偏重对学生数学素养和问题意识的考核，而不是应试能力的检测。但这并不意味着这类考题是送分题，值得注意的是，这一类试题往往并没有固定的知识点考查范围。
（二）文化生活情境相关的题一般多为选填题，并未作为压轴大题在正式考试中出现
这可能是基于以下考虑：首先，音乐与数学模块作为D类选修课程，并不适宜占据过大的分值，而是与对学生基础知识点的考查相结合，在选择填空题中出现，考查学生根据生活情境灵活进行模型运用与构建的能力。其次，这类题目对知识点的考查较为简单，不涉及复杂的计算推理，难度较低，适合放在试卷靠前的位置。
（三）这类题目一般题面较长，会将相关补充知识公式与预设条件以特定的形式涵盖在题目中
这就对考生提出了新的要求。首先，这考验学生在考试的紧张时间内吸收新知识，活学活用的能力。这要求学生在接触一个较为陌生的领域情境中，通过给定的数学模型理解陌生的公式，求出未知的量;或者在更高的难度上，通过构建数学模型来统摄生活实践领域之杂多的能力。其次，学生的理解能力和从文字中提取有效信息的能力在这种题型中便显得很重要。学生并不应该被冗长的题目和陌生的题材所震慑，而是应该从题面中提取出有效信息，通过已知把握未知。第三，这考查学生用数学理论和方法解决实践问题，在生活情境中，能够建立数学模型解决问题，将文字所给出的信息用数学语言表示出来。这就要求学生拥有较高的数学素养与问题意识。
综上所述，高考试题中以音乐题为代表的文化生活情境题的出现，代表着一种新的命题思路的趋势，同时也对学生的数学素养与综合能力提出了新的要求。
三、 以音乐题为例，谈对学生解决“文化生活情境题”能力的培养
在一般的高三数学复习中，教学往往侧重疑难大题的重点突破，文化生活情境题作为应用类问题，因为考查的知识点较为基础，往往被忽略。近年来高考命题不断创新，以音乐题为代表的文化生活情境题的难度也在不断提高，再加上这类问题考查知识点范围不受限制，考查方式常常出乎意料，再加上题面复杂，领域陌生，常常会让考生有手忙脚乱之感，自乱阵脚。今年“高考数学惊现乐理题”这一现象的出现，其实恰恰是文化生活情境题逐渐加强考核难度，创新出题方式的结果。针对频频“出人意料”的乐理题，需要培养学生解决“文化生活情境题”的能力，全方面提升学生的核心数学素养和问题意识。教育工作者也要开阔自己的视野，跟上高考命题发展的潮流和趋势，不能拘囿于一己之经验中。如何应对高考“文化生活情境题”频出的新趋势，培养考生的相关能力，教师可以从以下几方面入手。
1. 教师要密切关注课程标准的变化，参照课程标准有计划，有系统地着手复习工作。
从1952年颁布的《中学数学教学大纲》到2017年最新更新的《普通高中数学课程标准》，教育部持续数十年强调了数学的文化意义。1952年新中国颁布的第一个《中学数学教育大纲》中便强调：“教给学生以数学的基础知识，并培养他们应用这种知识来解决各种实际问题所必需的技能和熟练的技巧。”2017年更新的《普通高中数学课程大纲》中明确强调了“处理好数学学科核心素养与知识技能之间的关系，强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透”这一要求。这种要求也相当具体地体现在了近几年的高考试题上。在“音乐中的数学”模块中，课程标准明确提示了声波与正弦函数，律制、音阶与数列等可能的跨学科结合方向。2018年北京高考试题便出现了数学与音乐律制的题目，而今年将音阶用数学符号编号表达也符合课程标准提出的“科学记录乐曲”的提示。
值得注意的是，因为“数学中的音乐”这一模块属于D类选修课程，经常在日常的应试教学复习中被忽略，以至于音乐题的出现被视为“惊现超纲题”。诚然，“数学中的音乐”这一模块并不是必修，但值得教育工作者与学生警醒的是，应对高考的复习准备并不能被僅仅看作是一种应试训练，也不能仅仅是依靠往年的经验做出出题预测，而是要密切关注课程标准的变化，顺应素质教育和跨学科培养的大趋势，领会高考数学命题新思路和新方法。
2. 教师应该善于在平时教学中引入生活情境，使学生通过解决实际问题的方式习得新的数学理论知识点，让学生在解决实践问题中更牢固地掌握知识点。
在课程标准的改革下，高考命题将更多地考查学生对基础知识活学活用的能力，旧时的填鸭式教学，刻板的公式记忆已经无法适应新高考的命题趋势。通过引入实践情境，使学生初步掌握数学建模的方法，能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。从而逐渐培养学生加强在其他领域独立进行数学模型，用数学方法解决生活问题的能力和用数学思维和数学语言统摄实践诸领域的意识，着重提高学生的核心数学素养。
3. 教师应该在平时的课堂教学中注重数学文化的渗透，培养学生的学科意识，启迪学生关注数学在文化史上的力量。
这便要求教育工作者不仅要关注单个知识点的灌输，也要培养学生的整体意识和系统性学习规划。在对数学理论的传授上不仅仅是关注于个别的典型题型，而是要关注学科与跨学科意识的渗透，鼓励激励学生思考思维，为学生步入大学生活和研究性领域打下良好的基础。
“高考数学试题惊现乐理题”这一现象不应仅仅被视作是一场意外和一个个案，文章试图指明的是，以“乐理题”为代表的文化生活相关题目是高考命题的新趋势，同时也是课程标准革新的要求，顺应了推动素质教育发展和培养学生综合素养的新教育理论指导的大趋势。同时，“乐理题”不应该被视为是超出高中数学教学体系纲领的题目，文章试图指出的是，“乐理题”要求的恰恰不是额外的乐理知识，而是学生活学活用基础知识点的能力，用数学思维和数学语言渗透实践生活的能力和理解与建立数学模型的核心数学素养。面对高考命题思路的革新，教育工作者不应该对生活情境相关题掉以轻心，而是要在教学中善于引入实践情境传授知识点，促进学生的数学理论的掌握，全面培养学生的综合素质。
参考文献：
[1]柯跃海.高考数学试题情境的创设实践[J].中国考试，2020（6）：1-9.
[2]林文贤，林睿忻.高考试题中的数学文化价值：以2019年高考数学全国I卷第4题为例[J].韩山师范学院学报，2020，41（3）：70-74.
作者简介：高咏咏，新疆维吾尔自治区克拉玛依市，新疆克拉玛依市高级中学。
