摘 要：高中数学中的曲线变换和函数图象变换，主要有平移、伸缩和对称变换。广义上的函数图象变换就是曲线的变换，但曲线变换的适用范围更广阔，不仅能使函数的图象变换更简单，判断函数的奇偶性，求函数的反函数，还能解决函数图象变换不能应用于曲线变换的弊端。
关键词：曲线变换;函数图象;图像变换
一、 引言
在近年的高考试题中，函数图象变换是高频考点，主要考查学生的数形结合能力与逻辑推理能力。函数图象的变换主要从三角函数图象的平移和伸缩变换开始，又引入了函数图象的对称变换和翻折变换。在解析几何中又引入了曲线的中心对称变换和轴对称变换，由于引入的时间节点不同，导致学生不能把函数图象变换与曲线变换完美地融合，造成了解题时的困惑。为了解决这一问题，文章主要从曲线变换入手，把曲线变换与函数图象变换融合起来，使曲线变换的规律能广泛应用于函数图象变换，同时也能解决解析几何中的变换问题。
二、 研究曲线变换与函数图象变换的意义
在学习函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质时，主要是学习函数图象的平移与伸缩变换，教材中的平移伸缩变换规律是针对函数y=f（x）而言的，而且仅限于解决三角函数的图象变换问题，并不能延伸应用到其他函数的图象变换。在学习圆锥曲线的对称变换后只是掌握了“把方程中的x换成-x方程不变，则曲线关于y对称，把方程中的y换成-y方程不变，则曲线关于x对称，把方程中的x，y分别换成-x，-y方程不变，则曲线关于坐标原点对称”，不能从本质上认清变换的实质，把知识融为一体，给解决变换问题带来困惑。
从方程的曲线和函数的图象看，函数的解析式y=f（x）就是曲线的方程，所以曲线的变换能完全适用于函数图象的变换，从函数概念看，曲线的方程不都是函数的解析式，所以函数图象的变换规律并不都适用于曲线的变换。如果把函数的解析式y=f（x）变形为y-f（x）=0，令F（x，y）=y-f（x），则函数的解析式就是方程F（x，y）=0。在函数图象变换的教学中引入曲线的变换，把曲线变换与函数的图象变换深度融合，就能从本质上让学生理解变换的实质，提高数学的解题能力。
三、 曲线变换的规律
（一）曲线在水平方向上的平移变换
设点（x′，y′）是曲线F（x，y）=0上的任一点，则F（x′，y′）=0，把曲线F（x，y）=0水平向右平移a（a>0）个单位后，点（x′，y′）对应的点为（x，y），则x′=x-a，y=y′，所以把曲线F（x，y）=0水平向右平移a（a>0）个单位后所得曲线的方程为F（x-a，y）=0，同理可得，向左平移a（a>0）个单位后得到的曲线方程为F（x+a，y）=0。
（二）曲线在竖直方向上的平移变换
设点（x′，y′）是曲线F（x，y）=0上的任意一点（x′，y′），把曲线竖直向上平移b（b>0）个单位后，点（x′，y′）的对应点为（x，y），则x′=x，y′=y-b，又因为点（x′，y′）在曲线F（x，y）=0上，所以把曲线竖直向上平移b（b>0）个单位后所得的曲线方程为F（x，y-b）=0，同理可得，曲线F（x，y）=0沿竖直向下的方向平移b（b>0）个单位后得到的曲线的方程为F（x，y+b）=0。
（三）曲线在水平方向上的伸缩变换
设点（x′，y′）是曲线F（x，y）=0上的任一点，则F（x′，y′）=0，把曲线F（x，y）=0上每一點的横坐标扩大ω（ω>1）倍或缩小ω（0<ω<1），纵坐标不变，设点（x′，y′）在所得曲线上的对应点为（x，y），则ωx′=x，又因为纵坐标不变，所以y=y′，所以把曲线F（x，y）=0上的每一点的横坐标扩大ω（ω>1）倍或缩小ω（0<ω<1），纵坐标不变，得到的曲线的方程为F1ωx，y=0。
（四）曲线在竖直方向上的伸缩变换
设点（x′，y′）是曲线F（x，y）=0上的任一点，则F（x′，y′）=0，把曲线F（x，y）=0上每一点的纵坐标扩大ω（ω>1）倍或缩小ω（0<ω<1），横坐标不变，设点（x′，y′）在变换后所得曲线上的对应点为（x，y），则ωy′=y，又因为横坐标不变，所以x=x′，所以把曲线F（x，y）=0上的每一点的纵坐标扩大ω（ω>1）倍或缩小ω（0<ω<1），横坐标不变，得到的曲线的方程为Fx，1ωy=0。
四、 曲线变换的应用
曲线变换在数学中的应用非常广泛，主要有平移伸缩变换和对称变换的应用。除此之外，曲线的变换在解析几何中的应用也很多，延伸探究就会发现，曲线的变换还和函数的奇偶性及函数的反函数有关，可以用曲线变换判断函数奇偶性，求函数的反函数，下面来谈谈曲线变换的应用。
（一）曲线变换在函数图象变换中的应用
曲线变换在函数图象变换中，主要有平移与伸缩变换，对应的题型主要有三种，一是已知函数与变换求变换后的函数，二是已知变换和变换后的函数，求变换前的函数，三是知道变换前和变换后的函数，求变换。
例1 把函数y=sin2x的图象沿水平方向向右平移π3个单位后，竖直向上平移3个单位，再把所得图象上每一点的横坐标扩大2倍，纵坐标缩小12，求变换后所得图象对应的函数的解析式。
解析：根据曲线变换的规律，经过水平和竖直方向上的平移变换后，只需把函数y=sin2x中的x和y分别换成x+π3和y-3就得到y-3=sin2x-π3，再经过水平和竖直方向上的伸缩变后，只需把y-3=sin2x-π3中的x和y分别换成12x和2y就得到2y-3=sin212x-π3，化简得所求函数的解析式为y=12sinx-2π3+32。
例2 把函数y=f（x）图象上每一个点的纵坐标扩大3倍，横坐标不变，再向上平移2个单位就得到函数y=x2的图象，求函数y=f（x）的解析式。
解析：根据曲线变换规律，先把函数y=x2的图象先向下平移2个单位，得y+2=x2，再把每一个点的纵坐标缩小13，横坐标不变，得3y+2=x2，所以y=13x2-23，即f（x）=13x2-23。
（二）曲线变换在解析几何中的应用
1. 设点（x，y）是曲线F（x，y）=0关于坐标原点对称的曲线上的任意一点，则点（x，y）关于原点对称的点（-x，-y）在曲线F（x，y）=0上，所以F（-x，-y）=0，即曲线F（x，y）=0关于坐标原点对称的曲线的方程为F（-x，-y）=0。
2. 因为点P（x，y）关于点（a，b）的对称点为P′（2a-x，2a-b），所以曲线F（x，y）=0关于点（a，b）对称的曲线方程为F（2a-x，2b-y）=0
3. 因为点（x，y）关于x轴对称的点为（x，-y），所以曲线F（x，y）=0关于x轴对称的曲线方程为F（x，-y）=0。
4. 因为点（x，y）关于y轴对称的点为（-x，y），所以曲线F（x，y）=0关于y轴对称的曲线方程为F（-x，y）=0。
例3 将函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，求函数f（x）的解析式。
解析：根據曲线变换规律知，曲线y=ex关于y轴的对称曲线为y=e-x，所以把曲线y=e-x向左平移1个单位后所得曲线的方程为y=e-（x+1），所以f（x）=e-x-1。
5. 因为点（x，y）关于直线y=x+b对称的点为（y-b，x+b），所以曲线F（x，y）=0关于直线y=x+b对称的曲线方程为F（y-b，x+b）=0。
6. 因为点（x，y）关于直线y=-x+b对称的点为（b-y，b-x），所以曲线F（x，y）=0关于直线y=-x+b对称的曲线方程为F（y-b，x+b）=0。
通过上述曲线关于点的中心对称变换和关于直线的轴对称变换可以看出，函数图象变换的实质就是曲线上点的坐标变换，只要能理解点的坐标变换，也就理解了变换的实质，也就理解了圆锥曲线的轴对称变换和中心对称变换。
例4 求圆（x-1）2+（y+2）2=1关于直线x+y=1对称的圆的方程。
解析：根据曲线变规律知，点（x，y）关于直线x+y=1对称的点为（1-y，1-x），所以圆（x-1）2+（y+2）2=1关于直线x+y=1的对称圆为[（1-y）-1]2+[（1-x）+2]2=1，即y2+（x-3）2=1。
例5 把抛物线y2=4x向上平移2个，再把曲线上每个点的横坐标扩大2倍，纵坐标不变，求所得曲线的焦点坐标。
解：把y2=4x向上平移2个得（y-2）2=4x，再把（y-2）2=4x上每个点的横坐标扩大2倍，纵坐标不变，所得曲线的方程为（y-2）2=412x，即（y-2）2=2x，所以它的焦点坐标为12，2。
（三）曲线变换与函数的奇偶性
因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以可通过曲线的对称变换来判断函数的奇偶性。在函数的定义域关于原点对称的前提条件下，若把如果y=f（x）中的x换成-x，函数的解析式不变，则函数是偶函数，若把如果y=f（x）中的x换成-x，y换成-y，函数的解析式不变，则函数是奇函数。比如判断函数y=lg1+x1-x的奇偶性，因为函数的定义域为（-1，1），所以把x，y分别换成-x，-y后，函数的解析式不变，所以函数是奇函数。
（四）曲线变换在作函数图象中的应用
关于函数y=f（|x|），因为把x换-x，函数解析式不变，所以y=f（|x|）是偶函数，只需做出y=f（x）（x≥0）的图象，再做出关于y对称的图象，就得到y=f（|x|）的函数图象。对于函数y=|f（x）|的图象，因为f（x）<0时，|f（x）|=-f（x），所以只需把x轴下方的图象对折到x轴的上方，就得到y=|f（x）|的图象，其实质就是x轴下方的图象对称到了x轴的上方。
（五）曲线变换与函数的反函数
因为函数与其反函数的图象关于直线y=x对称，又因为曲线F（x，y）=0关于直线y=x对称的曲线的方程为F（y，x）=0。所以求函数的反函数时，只需把y=f（x）变成x=f（y），再用x把y表示出来，再确定函数定义域就可以。比如，求函数y=log2（x+1）的反函数时，把y=log2（x+1）写成x=log2（y+1），再用x把y表示出来，就得到反函数用y=2x-1（x∈R）。
五、 总结与展望
函数是高中数学中的主线，函数的思想贯穿数学教学的始终，在复习函数的图象变换时，可以曲线变换与函数图象的变换相融合，从曲线变换的角度去探究函数的图象变换，就能让学生认识到曲线变换的重要性，认清曲线变换与函数图象变换的本质联系，从而提高学生的解题能力。
参考文献：
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[2]李示诚.例析三角函数图象变换的经典考题[J].中学生数理化，2014（4）.
[3]熊道军.三角函数的图象变换[J].中学数学研究，2007（7）.
作者简介：曹明宽，甘肃省兰州市，甘肃省兰州市第十八中学。
