高海军
摘 要：解题教学不能就题讲题，泛泛而谈，应努力挖掘题目背景所承载的知识，思想、经验，以及数学核心素养。教师可借助对一道练习题的解答情况进行分析和变式拓展，形成平时教学中一题多变、多解归一、建构模型、思想内化等策略，促进学生深度思考，提升学生核心素养，培养学生分析问题和解决问题的综合能力。
关键词：等边三角形;共顶点;变式
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2021）31-0127-02
DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2021.31.063
数学教育家G·波利亚说过：“掌握数学意味着什么？那就是解题。”解题是数学学习的一个核心内容和一种最基本的思维活动形式，是贯穿于整个学习数学的始终。本文借助教材课后习题解答的深度分析，挖掘内在本质，灵活变式条件，激发学生解题数学思维，提升学生的数学素养。
一、题目呈现
“已知如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证DC=BE。”本题是新人教版八年级下册数学第十三章平行四边形复习题巩固综合运用第12题，是学生学习了全等三角形、轴对称、等腰三角形、等边三角形知识后的一道综合运用题，需要学生灵活运用等边三角形的性质和全等三角形的判定来解决，中等难度。
（一）解决策略
思考：如何证明DC=BE，图形结构上有什么特点？
基本思路：利用学生已掌握的等边三角形性质，以及图形特点共顶点等线段，容易得到三角形全等的条件，再证明△ADC，△ABE全等即可。
规范解答：
证明： ∵△ABD，△AEC都是等边三角形
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC
即∠DAC=∠BAE
在△ADC和△ABE中AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE
∴△ADC ≌ △ABE （SAS）
∴DC=BE
（二）拓展问题
结合图形进一步思考，挖掘新问题让学生计算∠BPC的度数，培养学生解决问题的基本能力。分析：计算∠BPC的度数，可以转化为计算∠DPB的度数，由三角形全等可获得∠ADC=∠ABE，又有对顶角相等，结合三角形内角和定理可以推出∠DPB=∠DAB=60°，从而算出∠BPC=120°。
二、共线共顶点变式
如图2，点C是线段AB上除点A，B外的任意一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和△BCE，连接AE交DC于点M，连接BD交CE于点N，连接MN。求证：1.AE=BD;2.MN∥AB;3.计算：∠AFB。
证明：1.∵△ACD和△BCE是等边三角形
∴AC=CD，BC=EC ∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°
∵AC=CD，BC=EC ∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴AE=BD
2.∵△ACE≌△DCB（SAS）
∴∠CDB=∠CAE 即∠CDN=∠CAM
∵∠ACM=∠DCN=60° ∠CDN=∠CAM AC=CD
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴CM=CN
∵∠MCN=∠DCE=60° CM=CN
∴△CMN是等边三角形
∴∠CMN=∠ACD=60°
∴MN∥AB
3.∵∠CDB=∠CAE
即∠MDF=∠CAM ∠AMC=∠DMF
∴∠DFM=180°-∠MDF-∠DMF
∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC=60°
∴∠DFM=60°
∴∠AFB=180°-∠DFM=180°-60°=120°
反思：此环节是学生在已掌握基本思维和方法的基础上，通过三个问题的设计，进一步巩固加强学生对图形变换后解决问题和分析问题的能力培养，有助于学生内化为自己的逻辑思维.
三、能力提升变式
如图3 ，若BD与AE相较于点P，连接CP，判断下列结论正确与否，对的哒“√”，错的打“×”。
1.∠APD=60° （ ）
2.△ACM≌△DCN （ ）
3.CM=CN （ ）
4.△CMN是等边三角形 （ ）
5.ME=BE （ ）
6.CP平分∠APB （ ）
此环节设计的意图是对基本图形的简单变换，挖掘更深层次的问题，可以很大提高学生分析问题、解决问题的能力，激发学生创造性思维和好奇心。通过前面的讲解，学生容易把前五个问题判断出来， 问题6重点考查学生的综合能力，通过三角形全等可推理得到面积相等，由AE=BD可得这两条边上的高相等，再结合角平分线的判定定理，可以证明出CP平分∠APB 。
四、共点等腰三角形变式
如圖4，CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，AD，BE相交于点H，连接CH。求证：1.AD=BE;2.HC平分∠AHE;3.求∠AHE的度数（用含α的式子表示）。
证明：1.∵∠ACB=∠DCE=α
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE;
2.過点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N
∵△ACD≌△BCE
∵S△ACD=AD·MC
S△BCE=BE·CN
∴S△ACD=S△BCE
∴CM=CN
∴CH平分∠AHE;
3.∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD=∠CBE
∵∠AMC=∠AMC
∴∠AHB=∠ACB=α
∴∠AHE=180°- α
此题设计意图：发掘共性问题，由特殊到一般的转化思想，可进一步提升学生的思维能力，图形意识.
五、反思解题过程，内化数学经验，探寻共性问题
由教材的习题入手，深入挖掘问题本质，通过条件、问题、图形多种变式，发现它们的共性问题，本质就是共顶点等线段，是图形之间的旋转变换，它们都可以看成一个三角形旋转得到另一个三角形，也可以看成两个正方形之间的图形变换，这一类问题所凸显出来的共同问题是都可以用SAS定理判定两个三角形全等，对应两长边的夹角是180°-α。在教学中，我们让学生抓基础图形，探索已知条件和问题之间的关系，结合图形的基本性质，帮助学生分析问题和解决问题，从而提高学生合情合理的几何逻辑推理。只要学生掌握了方法，就会达到知一点，会一面的效果。
六、结语
我们在分析问题时，要重视数学思想方法的引领作用，在解题过程的反思中，让学生真正参与深度思考和交流，不断地提炼、整合、内化活动经验，形成优化的经验结构，然后将这种经验迁移到变式的问题中检验、应用，从而提高学生的学习效率，提升学生的核心素养.
参考文献：
[1]张雄，李德虎.数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]朱毅航.初中数学几何证明的解题思维培养路径探析[J].理科考试研究，2016（3）.
