李杨
中图分类号：G633.64文献标识码：A文章编号：1992-7711（2019）14-046-1
北师大版《数学》在八年级删减了“平行线等分线段”及“平行线分线段成比例”定理，刚开始让我们老师有些茫然，但没想到正因为这一删减，在九年级上册第三章《证明》“三角形的中位线”，却收到了意想不到的结果。
传统教材与新教材对“三角形中位线”定理的证明，都是采用作辅助性构造平行四边形，再无新意。而初学新教材的学生却首次提出不作辅助性，利用三角形相似即可证明，让人眼前一亮。
定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
已知：如图1中DE是△ABC的中位线
求证：DE∥BC，DE=1/2BC
证明：∵DE是△ABC的中位线
∴AD/AB=AE/AC=1
又∵∠DAE=∠BAC
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
即DE=1/2BC
∴∠ADE=∠ABC
∴DE∥BC
同样，教材P87“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理，新旧教材仍均是采用构造矩形来证明的。但这种证明，学生，包括老师均难以想象，难以接受。学了“三角形的中位线”，学生的思维又不得不让你惊叹。
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
已知：如图2中直角△ABC中，∠ABC=900，BE是AC边上的中线
求证：BE=1/2AC
证明：作AB的中点F，连接EF
∴EF是△ABC的中位线
∴EF∥BC
又∵∠ABC=900
∴∠AFE=∠BFE=90°
又∵AF=BF，FE=FE
∴△AFE≌△BFE
∴BE=AE
又AE=EC
∴BE=1/2AC
有了這种证明，你能想到它的逆定理的证明吗？
逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
已知：△ABC中，AE=CE，且BE=1/2AC
求证：∠ABC=900
证明：作AB的中点F，连接EF
∵BE=1/2AC，AE=CE
∴BE=AE
又∵BF=AF，EF=EF
∴△AFE≌△BFE
∴∠AFE=∠BFE=90°
又BF是△ABC的中位线
∴EF∥BC
∴∠ABC=∠AFE=90°
