李会玲
摘要：向量具有代数和几何的双重属性，是数形结合思想的高度体现，在解题过程中有灵活地运用，通过对几道题目的分析，希望能够为中学数学教师提供一些帮助。
关键词：向量；数形结合；几何法；坐标法
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）01-0102
向量既有大小又有方向，可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。具有代数和几何的双重属性，引入高中课程，对课程结构以及解决问题的方式和方法产生了很大的冲击和影响，是数形结合思想的高度体现。近几年，高考对向量的关注度也越来越高。通过自己这几年对本章内容的教学实践和对相关试题的分析，越发感受到向量的两重性在解题中的巧妙应用。下面，笔者通过几道题目的分析，希望能够为一线的中学数学教师提供一些帮助。
例1.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 · 的值为
， · 的最大值为 。
方法一：选取向量 ， 为基底表示向量
· =（ + ）· = 2=1
方法二：利用数量积的几何意义
在 方向的投影为CB，故 · = 2=1
方法三：利用向量的坐标运算
以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），
设E（t，0），t∈[0，1]，
则 =（t，-1）， =（0，-1），
所以 · =（t，-1）·（0，-1）=1。
解析2：
方法一：因为 =（1，0），所以 · =（t，-1）·（0，-1）=t≤1，故 · 的最大值为1。
方法二：由图知，无论E点在哪个位置， 在 方向上的射影都是CB=1，∴ · = ·1=1。
当E运动到B点时， 在 方向上的射影最大即为DC=1，∴（ · ）max= ·1=1。
例2. 已知a，b是单位向量，a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是（ ）
A. [ -1， +1] B. [ -1， +2]
C. [1， +1] D. [1， +2]
解析1：
方法一：利用向量的运算
∵a·b=0，且a，b是单位向量，∴|a|=|b|=1.
又∵|c-a-b|2=c2-2c·（a+b）+2a·b+a2+b2=1，∴2c·（a+b）=c2+1.
∵|a|=|b|=1且a·b=0，∴|a+b|= ，
∴c2+1=2 |c|cosθ（θ是c与a+b的夹角）。
又-1≤cosθ≤1，∴0 ∴c2-2 |c|+1≤0，∴ -1≤|c|≤ +1。 方法二：利用坐标法 以a，b向量分别作x，y 轴建立坐标系。则a=（1，0），b=（0，1）设c=（x，y） 由|c-a-b|=1得：x，y满足（x-1）2+（y-1）2=1，（x，y）的轨迹为以（1，1）为圆心以1为半径的圆。|c|表示动点（x，y）到原点的距离。圆心（1，1）到原点的距离为 ，所以|c|最大值为 +1，最小值为最小值为 -1。 例3. 如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端点），E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA=EF。 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP=λ（0<λ< ），则A（0，1），P（ λ， λ），E（1， λ），F（ λ，0）， ∴ =（- λ，1- λ）， =（ λ-1，- λ）， ∴ = = ， ∴ = = ， ∴ = ，即PA=EF。 思维启迪：正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明。 例4. 给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 ，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 运动。若 =x +y ，其中x，y∈R，求x+y的最大值。 解析：以O为坐标原点， 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A（1，0）， B（- ， ），设∠AOC=α（α∈[0， ]），则C（cos α，sin α），由 =x +y ， 得cos α=x- ysin α= y，所以x=cos α+ sin α，y= sin α， 以x+y=cosα+ sin α=2sin（α+ ）， 又α∈[0， ]，所以当α= 时，x+y取得最大值2。 例5. 已知平面上一定点C（2，0）和直线l：（上接第102页）x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且（ + ）·（ - ）=0。 1. 求动点P的轨迹方程； 2. 若EF为圆N：x2+（y-1）2=1的任一条直径，求 · 的最值。 剖析：（1）直接利用数量积的坐标运算代入；（2）将 · 转化为关于y的函数，求函数的最值。 解：（1）设P（x，y），则Q（8，y）。 由（ + ）·（ - ）=0，得 2= 2=0， 即（x-2）2+y2- （x-8）2=0，化简得 + =1。 所以点P在椭圆上，其方程为 + =1。 （2）∵ = + ， = + ，又 + =0。 ∴ · = 2- 2=x2+（y-1）2-1 =16（1- ）+（y-1）2-1=- y2-2y+16=- （y+3）2+19 ∵-2 ≤y≤2 ∴当y=-3时， · =的最大值为19； 当y=2 时， · =的最小值为12-4 。 综上： · 的最大值为19； · 的最小值为12-4 。 在解決有关向量的问题时，我们应该充分考虑到向量的特性，根据数形结合的思想，或利用向量定义，或利用向量的坐标运算，或利用数量积的几何意义，从不同角度创造性地解题，提升自己的思想。 （作者单位：陕西省西安市第十九中学 710025）
