杨春鸟
[摘 要] 题目是在职教师研究的课题之一，教师需要深入分析题目的价值与特点，结合题目的思维轨迹，引领学生感悟其中的方法与价值，从而将题目的价值与教学的策略巧妙地融合在一起，达成理法悟教的效果.
[关键词] 解题;方法;初中数学
原题呈现
题目 如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4. E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上一动点.
（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形;
（2）当△PEF的周长最小时，求的值;
（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP=45°时，求CP的长.
解析 （1）如图2，连接AC，交EF于点O. 由对称可知OA=OC，AC⊥EF，所以AF=CF. 因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，可得△OAE≌△OCF，所以AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，所以平行四边形AFCE是菱形.
（2）如图3，因为△PEF的周长=PE+PF+EF，又EF的长为定值，所以△PEF的周长最小时，即PE+PF最小. 作点E关于直线CD的对称点E′，连接FE′交DC于点P′，则PE+PF=PE′+PF≥E′F，因此，当点P与点P′重合时，△PEF的周长最小.
因为AB=2，AD=4，所以AC=2，所以OC=. 由△COF∽△CBA，得=，所以CF=，所以DE=BF=4-=. 由画图可知DE′=DE=，由△DE′P∽△CFP，得==.
（3）如图4，设BP交AC于点Q，作BN⊥AC于点N. 因为∠EMP=45°，所以OM=OQ，NQ=BN. 由AB·BC=AC·BN，得2×4=2BN，所以NQ=BN=. 在Rt△ABN中，AN==，所以AQ=AN+NQ=，CQ=AC-AQ=.由AB∥CP，得△ABQ∽△CPQ，得=，解得PC=.
评析 本题为纯几何压轴题，题干简洁，图形简明，分步设问，步步深入，梯度明显，且解题思路自然，起点低，入口宽，既突出了一个“通”字——通性和通法，确保了大多数考生能得到理想的分数，又深化了一个“活”字——思维的灵活性与层次性，确保了较好的区分度.
解法归纳
本题第（3）问，解法灵活多样，阅卷中发现了学生有近20种方法，现将三种典型的方法思路归纳如下，以供参考.
1. 思路1：构造等腰直角三角形
利用条件“∠EMP=45°”构造等腰直角三角形，除
