朱璐璐
摘 要：模型思想是数学的三大基本思想之一，它是数学与外部世界沟通的桥梁，体现了数学广泛的应用性。数学模型是数学应用和问题解决的核心。我们可以通过两种途径培养学生的模型思想：第一，指导学生学习基本数学模型;第二，指导学生使用基本数学模型进行问题解决。
关键词：模型思想;问题解决;子模型;母模型
“模型思想”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中新增的一个核心词。数学模型在当今信息化社会中已经有十分广泛的应用，在大学、中学也有比较深入的研究和实践，但是在课标修订之前，小学数学教师很少践行数学建模。如何培养小学生的“模型思想”，还有很多问题值得探讨。
在小学阶段，从课程标准的角度正式提出“模型思想”，表明了模型是数学应用和问题解决的核心。我们可以通过两种途径培养学生的模型思想：第一，指导学生学习基本数学模型;第二，指导学生使用基本数学模型进行问题解决。
一、指导学生学习基本数学模型
学生学习基本数学模型的过程可以是接受学习，也可以是探究过程。在这里笔者重点阐述探究过程，即经历类似于数学家建模的再创造过程。鉴于小学生的认知水平，小学大部分公式、定理的推导大都采用不完全归纳法，这样的做法值得商榷。数学是思维的科学，培养学生的推理能力也应该在公式、定理的推导上得到一定的体现。
例1：乘法结合律的推导。横着看，每行有6个人，一共4行，一共有6×4人，每人拿着3个气球，因此有3×（6×4）个气球;或者横着每行有3×6个气球，一共有4行，因此有3×6×4个气球。因此，3×（6×4）=3×6×4。学生很容易就发现，将数字变一下，这个推导过程依然成立。通过推理，学生再创造了“乘法结合律”。
二、指导学生使用基本数学模型进行问题解决
模型是解决一类问题的优化方案，是前人总结出来的有效方法。教师指导学生使用基本数学模型进行问题解决的过程类似于数学建模过程，即“问题情境——建立模型——求解验证”的过程。利用模型求解就是站在巨人的肩膀上进行问题解决，是学生舍弃非本质要素对现实或者直观情境的本质要素进行抽象，之后建立模型对问题进行数学化，最后通过数学特定的解题方式进行求解的过程。
例2：同学们一起去游园，有48人，每辆大车租金120元，限乘12人，每辆小车租金160元，限乘18人。可以怎样租车？需要多少钱？
我们班有个孩子是这样做的（见图2）。通过与他沟通，发现他的想法是：先考虑全部租小车，需要4辆;后考虑全部租大车，2辆大车不够坐，需要3辆大车;大车、小车都考虑，就需要1辆大车搭配1辆小车。因此，只有三种方案。学生的思路在“大小车都租”这里出了问题，大车和小车的辆数并不一定相同。
我们一般用列表模型解决这个问题。先假设全部租大车，然后将大车辆数依次减一，求小车的辆数，之后求出可乘人数和租金（见表1）。学生借助列表法这种经过前人整理优化的模型，可以快速梳理出多种租车方案，并从中选择自己想要的方案，不容易出现思维误区。
例3：鸡兔同笼，有5个头，14只脚，那么鸡兔各有多少只？
这个问题同样可以用列表模型有條理地解决问题（见表2）。
表2
（单位：只）
通过这两个例子，我们发现列表模型使我们的思路更清晰，它能帮助我们进行有序的、不重复、不遗漏的思考。因此可以认为，模型是解决一类问题的有效方案。
三、重视模型的内在关联
根据信息加工理论，进入短时记忆的信息，如果得到复述，将可以进入长时记忆，否则将被遗忘。这里的复述更多指的是精细复述，精细复述是指将信息进行分析使之与已有的知识经验建立起某种内在联系。同时虽然长时记忆的信息提取受很多因素影响，但是有意编码（把输入的信息与存储的知识联系起来）的效果优于自动编码（不需注意和意志努力）。因此，将新学习的模型与已学的模型建立联系，是保持记忆和提高提取信息效率的有效方法。
为了便于记忆和信息的提取，笔者将有本质联系的模型进行了梳理、归纳。下面笔者将介绍四种基本模型，分别是：“加法”模型、“减法”模型、“乘法”模型、“除法”模型，每种模型都可以细分为多个子模型，下面将展开详细说明。
1. “加法”模型
（1）数平行线
例4：数一数，下边图形中有几组平行线？
横着看有2条互相平行的直线，因此只有1组平行线;
斜着看有5条互相平行的直线，因此有4+3+2+1=10（组）平行线;
一共有1+10=11（组）平行线。
（2）数线段
例5：数一数，下边图形中有多少条线段？
先数基本线段，有4条。因此，线段总共有4+3+2+1=10（条）。
（3）数角
例6：数一数，下边图形中有多少个角？
先数基本角，有4个。因此，角总共有4+3+2+1=10（个）。
（4）数三角形
例7：数一数，下边图形中有多少个三角形？
先数基本三角形，有4个。因此，三角形总共有4+3+2+1=10（个）。
（5）数长方形
例8：数一数，下边图形中有多少个长方形？
先数基本长方形，有4个。因此，长方形总共有4+3+2+1=10（个）。
（6）数直线
例9：经过下边任意两点画直线，可以画多少条？
先找一个点，它可以与其他四个点连4条直线，再考虑其他点。因此，直线总共有4+3+2+1=10（条）。
以上6个子模型用相同的方法解决问题，因此它们可归为同一母模型。在小学阶段，我们把这种方法叫作枚举法。但是在中学，这种方法叫作排列组合。它属于组合中的C■模型。如何证明呢？我们知道C■=■=■（以例9为例，这里的n指的是5个点），而用枚举法解题公式是（n-1）+…+3+2+1，用配对求和的方法可知（n-1）+…+3+2+1=（n-1+1）×■=■。
由于从形式上看，上面的式子都是用加号连接，因此，简称为“加法”模型。
2. “减法”模型
（1）用断尺测量物体的长度
例10：怎样用下边的“断尺子”画出一条长6厘米的线？
16-10=6（厘米）;15-9=6（厘米）;14-8=6（厘米）。
我们发现：两个刻度之间的距离=最后面的刻度-前面的刻度。
（2）求经过的时间
例11：淘气早上6时30分起床，7时40分上学，他从起床到上学一共用了多长时间？
7时40分-6时30分=1时10分。
例12：第29届夏季奥林匹克运动会于2008年8月8日20时在北京开幕，至8月24日20时，共历时______天。
24-8=16（天）。
我们发现：经过的时间=后面的时刻-前面的时刻。
（3）求用电量
例13：请算出乐乐家7月份的用电量。
545-430=115（千瓦时）。
我们发现：这个月的用电量=这个月的读数-上个月的读数。
以上4个例题都是在求相差数，而“相差数=大数-小数”。这些模型都可以认为是在一维空间求相差数，并且都是起始数值不为0的情况，更能体现相差数的意义。
大数和小数之间的差距，还可以等同于植树问题的“求几段”“求间距”，即数间隔模型。
（4）求面积差
例14：分别求以下三种图形的阴影部分的面积。
三个图形的阴影部分都是不规则图形，但是它们的面积都是“大长方形的面积-小长方形的面积”（即面积差）。
除了在一维空间求相差数，在二维空间也可以求相差数，求面积差就属于这种类型。而且通过三种图形的对比，学生在静态图中感受到了动态地变化，同时感受到无论图形如何变化，三张图的本质是一样的，领悟到了“变中的不变”。
由于从形式上看，上面的式子都是用减号连接，因此，简称为“减法”模型。
3. “乘法”模型
（1）“总价=单价×数量”模型
例15：单价10元的皮球，小明买了8个，一共花了多少钱？
10×8=80（元）。
答：一共花了80元。
（2）“路程=速度×时间”模型
例16：晓东从学校到少年宫一共用了10分钟，他每分钟走60米，从学校到少年宫的路程是多少米？
60×10=600（米）。
答：从学校到少年宫的路程是600米。
（3）“多倍数=1倍数×倍数”模型
例17：红阿姨到超市买了8个鸡蛋，黄阿姨买的鸡蛋是红阿姨的5倍，那么黄阿姨买了几个鸡蛋？
8×5=40（个）。
答：黄阿姨买了40个鸡蛋。
（4）度量模型
例18：下面是体育馆的一个看台，大约有多少名观众？
可能出现多种方法，如可以将这个看台分成3部分，每部分有8行，因此每部分有7×8=56（人），3部分一共有7×8×3=168（人）。
本问题解决的策略是“化整为零”，即把体育场的观众分成数目大体相同的几个部分，想办法估计出其中一个部分的数量，就可以用乘法估算整个体育场观众的数量。
例19：估一估，下面的角有多少度？
我们把∠1看成一个标准，则∠2大约有3个∠1，大约30°;∠3大约比直角少一个∠1，大约80°。
对大数的估计或者对角度的估计的思想，就是度量思想。要先确定一个度量单位（标准），再数出单位数（有几个标准），就可以用乘法算出总量（角度）。
上面的这4个模型都是求“几个标准”的问题，都可以归结为“总数=每份数×份数”这一数学“乘法”模型。
4. “除法”模型
（1）鸡兔同笼问题
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）。
（2）追及问题
追及时间=追及路程÷速度差。
（3）赢亏问题
两次分配结果的差（赢+亏）÷两次分配数量的差=份数。
通过分析我们发现，上面的三个模型都可以归纳为“相差数÷每份数的差=份数”的“减法”模型。
这些数学模型是学生经常遇到的问题，也都有各自的公式，但是我们发现，看似不一样的数学问题，对其进行二次抽象会发现它们的数学模型（结构）是一样的。教师在指导学生学习基本模型时，如果可以在适当的时机对学生进行“点拨”，对公式进行一定的归纳提升，帮助学生认清知识点之间的本质联系，将新知识整合到已有的知識框架中，学生的学习将更能够融会贯通、事半功倍，也能促进信息在人脑中的保持和提高提取信息的效率。这里需要补充的是，虽然这些“子模型”都可以归纳为同一种“母模型”，本质是相同的，但是由于“母模型”太过抽象，更具一般性，而“子模型”比较容易推导，更好理解，有它的特殊性。因此，对于学生来说，循序渐进，先学习具体的（子模型），再体会它们都可以归纳为抽象的（母模型），是比较合理的。
模型思想是数学的三大基本思想之一，它是数学与外部世界沟通的桥梁，体现了数学广泛的应用性。数学模型是数学应用和问题解决的核心。如何培养学生的模型思想前路漫漫，还有很多值得研究的地方。
