梁玲智 潘慧敏
[摘 要] 文章以拓展课“画周长是12的多连方”为例，通过对学生解答此类问题策略的分析，发现学生现有的数学能力大多停留在“数”或“算”的层面，极少能从图形变换的角度进行思考，缺乏“通过平移找到基础图形之外的多连方”的意识与能力。文章将在实证研究的基础上，阐释如何通过“巧借认知经验、架构知识桥梁”“利用几何直观、同化认知结构”“建立认知阶梯、构建逻辑结构”这三个层面螺旋地提升学生的数学能力。
[关键词] 周长;多连方;解题策略;数学能力
培养和提升学生的数学能力是数学教学的重要任务。相比容易操作、评价的概念理解与技能训练，数学能力的研究比较模糊和难以把握。在具体的教学实践中，教师迫切需要知道解决特定数学问题所涉及的数学能力，而国内外学者较少有专门针对解决某个具体数学问题的相关研究。笔者认为，分析学生已有的数学能力水平与目标水平之间的差异，是提升数学能力的前提;而通过分析解题策略，能发现学生已有的数学能力水平。本文将以拓展课“画周长是12的多连方”为例，阐释如何基于实证数据，提升数学能力。
一、概念界定与解题策略
多个相同的小正方形连在一起，如果相邻两个小正方形相连的两边完全重合，这样的图形叫作“多连方”。如五连方就是由5个正方形连在一起组成的。画周长是12的多连方，需要借助几何直观和周长计算，从形和数两个维度调动学生已有的认知经验。在问题解决的过程中，包含运算、观察、想象、概括、迁移、推理、建模等多种重要的数学能力。
解题策略一：大长方形（或正方形）减去其中的若干个小正方形。
周长是12的长（正）方形共有3种，在此基础上去掉边角的若干个小正方形，剩余图形的周长不变（见图1）。
解题策略二：正方形周长总数减去公共边。
计算多连方的周长，还可以从“公共边”入手，根据“周长=正方形个数×4-公共边数量×2”去思考。以六连方为例，移动其中的一个小正方形，如果公共边的条数不变，那么周长也不变。用这样的思路，如果画出了一个周长是12的六连方，就可以依次有序地移动深色小正方形，构造出符合条件的其他六连方。这些六连方的周长都是6×4-6×2=12，符合条件的六连方共有7个（见图2）。
二、数据的调查与分析
学生的数学能力是在数学活动过程中表现出来的，而数学活动的主体部分是数学问题的解决活动。学生在解决“画周长是12的多连方”时的数学能力情况又是怎么样的呢？笔者在某城区学校的四年级随机抽取了一个班的学生进行了调查。调查之前先简要介绍“多连方”的概念，确保受调查的学生在理解题意的基础上进行操作。学生独立操作时间为10分钟，期间师生之间、生生之间无任何提示和交流。10分钟后学生停止画图，写下自己画图的方法。
1. 数据量化分析
调查结果能客觀地反映出学生在图形计算能力、观察判断能力、逻辑推理能力上的差异（见表1）。从整体层面来看，学生能够画出符合要求的多连方，但是数量比较少，平均每人能画出8.475个图形，平均每人能画出7.95个正确的图形。
从个体层面来看，学生个体之间的解题能力存在着比较明显的差异（见表2）。最多的学生能画出18个图形，而最少的学生只画出了3个图形画出。图形个数“1到5个”的占了27.5%，“6到10个”的占了52.5%。
从解答方法层面分析，学生能力水平从低到高分成四个层次（见表3）。层次一是“空白或表述不清晰”;层次二是“数或凑”的方法;层次三是“利用周长公式结合数与算”，如“（长+宽）×2=12”“12÷2=6，想几加几是6”“12÷4=3”“先确定宽，再用（12-宽×2）÷2”等;层次四是“在基础图形上进行变化”，如“画出长方形，然后变化一下”“想出一种，把它转了再转”“先画出简单的，再移动其中一块”“画一个周长是12的长方形，然后挖角”等。
2. 归因分析
为了能够准确描述四年级学生对“画周长是12的多连方”的理解程度与思维轨迹，笔者通过数据的整理分析和与学生的个体访谈等方法，将学生的理解水平分为了4个层次，分别是前结构水平、单点结构水平、多点结构水平和关联结构水平。各结构水平的人数和占比情况详见表4。
（1）前结构水平属于能力最低的水平。该类学生对于问题的线索混淆不清，没有一致的感觉，甚至有的连问题都没有弄清楚，表现为“空白或表述不清”等情况（见图3）。
（2）单点结构水平属于较低层次的水平，学生能够通过“数或凑”的方法画出部分“周长是12的多连方”。但是在他们的脑海中，图形是零散的，甚至是碎片式的，没有把各图形关联起来，碰运气的成分较高，数学思维运用较少（见图4）。
（3）多点结构水平属于中等层次的水平，该类学生能“利用周长公式结合数与算”。如“（长+宽）×2=12”“12÷2=6，想几加几是6”“12÷4=3”“先确定宽，再用（12-宽×2）÷2”等，画出较多符合要求的图形。但由于他们只注意孤立的素材，考虑问题不够全面，没有能“在基础图形上进行变换”想出更多的图形。
（4）关联结构水平属于较高层次的水平。该类学生能在基础图形上进行变化，如“画出长方形，然后变化一下”“想出一种，把它转了再转”“先画出简单的，再移动其中一块”“画一个周长是12的长方形，然后挖角”等。但可惜的是并没有形成完整、清晰的解题思路，缺乏全面有序地思考（见图5）。
三、精准教学，提升数学能力
通过对调查数据的定量刻画和定性分析，发现学生现有的数学能力大多停留在“数和算”的层面，极少能从图形变化的角度进行思考，缺乏“通过平移找到基础图形之外的多连方”的意识与能力。如何开展教学，提升学生的数学能力？
1. 巧借认知经验、架构知识桥梁
杜威指出：“教育必须建立在经验的基础上，教育就是经验的改造和重组。”学生原有的认知经验是其进一步学习的生长点。当新知识出现时，教师应引领学生将新知与头脑中已有的认知结构产生联系，架构新旧知识之间的桥梁，从而进一步扩展和完善认知结构。
在简单介绍多连方、给出多连方的定义后，笔者设计了以下教学过程。
步骤一：操作——组织学生在学习单中画出周长是12的多连方。
步骤二：分类——根据实时监测到的学生作图情况，筛选、收集有代表性的作品，利用“交互智能平板”中的拍摄功能，将其以图片的形式呈现，引导学生进行分类。
步骤三：对比——借助同屏投影功能和自由拖曳功能再次展示整理后的作品，寻找与基础图形之间的联系与区别。
步骤四：内化——用新方法再次画图，完善充实作品。
2. 利用几何的直观性、同化认知结构
小学生的思维水平正处于从形象思维为主逐步向抽象思维为主的过渡阶段，而画“周长是12的多连方”这一任务具有较强的逻辑性和高度的抽象性，所以学生在理解和掌握上有一定的困难。笔者利用几何的直观性，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，将抽象思维和形象思维结合起来，引导学生与头脑中原有的认知结构产生联系，同化新信息，使认知结构不断地扩展和完善。
在学生将作品分类后，笔者再次展示整理后的作品（见图6），引导学生思考：右边的多连方与第一个多连方有什么联系与区别？
生1：它们的周长都可以用（4+2）×2=12来计算。
生2：右边的多连方就是在左边长方形的基础上去掉了角落的一个小正方形或者两个小正方形。（其他学生若有所悟）
生3：左边的长方形还可以去掉角落的3个小正方形。
生4：边长是3的大正方形也可以去掉角落的小正方形，能画出很多不同的多连方。
……
学生在交流互动中发现图形之间的内在关联，把画周长是12的多连方与平移线段周长不变这一认知联系起來，同化了认知结构。
3. 建立认知阶梯、构建逻辑结构
周长是12的多连方的教学，其核心目标是“形成解决问题的思路，掌握有序画图的方法，提升数学能力”。达成这个目标的难度很大，一方面，“画周长是12的多连方”对学生的推理能力和空间想象能力的要求很高;另一方面，学生要找到最优的方式才能有序地把符合要求的图形画出来。为了突破这一难点，笔者分层次阶梯式设计教学过程。
层次一：呈现利用“数或凑”的方法解答的学生作品，引发学生思考：怎样验证这些同学的作品是否符合要求？
层次二：呈现利用周长公式结合“数和算”解答的学生作品。
①你能读懂这些同学的想法并用自己的方式加以介绍吗？
②怎样作图才能做到有序、不重复、不遗漏？
层次三：呈现利用在基础图形上进行变换的方式进行解答的学生作品。
①这些多连方的周长与正方形的个数、公共边的数量有什么关系？
②你能用一个简洁的公式概括它们之间的关系吗？（多连方周长=正方形个数×4-公共边数量×2）
在上述教学片段中，每个环节的目标定位是清晰、独立的。用“数或凑”的方法解答是画图的基本方法，简单但无序;利用周长公式结合“数与算”解答，感受“分组”策略，优化作图方法;利用在基础图形上进行变换的方式进行解答，建立数学模型，巩固逻辑推理。这种“分层教学”非常有效地将教学难点拆分成了一个个的“点”，建立认知阶梯，构建知识的逻辑结构。
总之，数学能力的提升是小学数学课程实施的重要目标。能力的提升是一个缓慢的过程，需要学生“悟”出其中的道理和思考方法。这种“悟”大多在数学活动中得以进行。通过对“画周长是12的多连方”的研究，了解学生数学能力的现状和发展的可能性。教学实践中巧妙借助认知经验，充分利用几何的直观性，组织学生讨论交流，碰撞出思维的火花，使学生不断同化、顺应认知结构，建立数学模型，提升数学能力。
