陈林 桑芝芳
摘 要：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的分析，往往是学生思维和方法上的难点，本文借助GeoGebra软件将粒子运动形成的轨迹圆进行旋转、缩放，可以非常方便地动态展示和分析磁场中的“旋转圆”和“缩放圆”问题，形成一种“动态”的轨迹呈现，消除或减少学生在解题过程中的思维、方法障碍.
关键词：GeoGebra;磁场;旋转圆;缩放圆
文章编号：1008-4134（2020）05-0050中图分类号：G633.7文献标识码：B
作者简介：陈林（1995-），男，硕士研究生，研究方向：学科教学（物理）.
通讯作者：桑芝芳（1971-），女，江苏如东人，博士，教授，研究方向：课程与教学论（物理）.
磁场中的“动态圆问题”是高中物理的一个教学难点问题，其中运动圆轨迹的规律变化对学生来说较为困难.因为当粒子的速度大小或方向变化时，其在磁场中运动所形成的轨迹圆将会缩放或旋转.由于涉及到较为抽象和复杂的几何关系，很多学生无法建立正确的物理模型，导致此类问题的出错率较高[1].
在传统教学中，教师通常采用一个定圆模型来模拟轨迹圆的旋转问题，但圆的缩放还是无法直观展示[2].而且定圆模型也难以方便地展示其中的几何关系，致使学生对圆的轨迹变化规律难以理解，特别是临界点情况.而GeoGebra正版免费，下载方便且操作简单，在国际上荣获多项教育奖项[3].利用GeoGebra中的动态功能，可追踪轨迹圆的变化状态，把其隐性规律显性化，化繁为简，快速创设易于学生理解的学习情境.笔者根据粒子速度变化的情况进行分类讨论，详细介绍在GeoGebra中制作磁场动态圆的方法.
1 旋转圆（入射方向有范围）
例1 如图1所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，P为屏上的一个小孔，PC与MN垂直，一束质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ 的范围内，则在屏MN上被粒子打中区域的长度为
A. 2mv（1-sinθ）Bq B.2mv（1-cosθ）Bq
C. 2mvcosθBq D. 2mvBq
1.1 课件原理
该问题粒子速度大小不变，所以粒子轨迹圆半径大小为定值，只是轨迹圆圆心在运动.经分析判断该圆心是在以P为圆心，mvqB 为半径的一段圆弧上运动.所以不难通过GeoGebra作出此段圆弧，并使该轨迹圆运动，显示出该圆与x轴交点痕迹长度.
1.2 课件制作
（1）选择“垂线”工具，过x轴上一点P作x轴的垂线PC，选择“射线”工具，过P点作射线PA.
（2）选择“轴对称”工具，作PA关于PC的对称线PB.
（3）选择“角度”工具，显现∠CPA、∠CPB分别为θ 和θ′ ，θ=θ′ .
（4）选择“垂线”工具，过点P作PD垂直于PA.
（5）在输入栏输入：rotate（D，360°-2θ ，P），则PD′垂直于PB.
（6）選择“圆弧”工具，作圆弧DD′.在圆弧上取点E，PE长为l.
（7）在输入栏输入：circle（E，l）.作圆心为E，半径为l的圆E.
（8）选择“交点”工具，点击圆E与x轴的交点为F.右击F设置“显示轨迹”，则可观察到圆E在旋转过程中与x轴交点的痕迹.隐藏不需要的对象.
1.3 课件说明
该问题是粒子在有界磁场中的问题，关键问题依然是找圆心，定半径.沿边界PA射出，圆心在PA的垂线PD的D点，沿边界PB射出，圆心在PB的垂线PD′的D′点.所以该粒子从P点射入与PC夹角为θ 的范围内，形成的轨迹圆圆心就在圆弧DD′上.右击E点，“启动动画”即可观察到粒子形成的轨迹圆与屏MN（x轴）形成的痕迹，即为粒子打在屏MN上的范围区域.如图2线段所示.
拖动E点发现，当E运动到D点，即粒子沿PA射入，粒子打到MN上痕迹最左端，如图3所示;当E运动到x轴上，即粒子沿PC射入，粒子打到MN上痕迹最右端，如图4所示，此时PF长为轨迹圆直径;当E运动到D′点，粒子也是打到MN上痕迹最左端，如图5所示.待到把粒子轨迹分析明白，再结合数学运算，不难得到正确答案.
2 旋转圆（入射方向无范围）
例2 如图6，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T.磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行.在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的α 放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s .已知α粒子的电荷与质量之比qm=5.0×107C/kg.现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度.
2.1 课件原理
粒子从放射源S发射，速度方向任意，但是大小不变，可以判断该粒子在磁场中做匀速圆周运动，形成的轨迹圆是一个半径为mvqB=10cm 的圆且恒过S点.在GeoGebra中不难通过“旋转圆”法模拟出该圆运动轨迹.通过设置追踪轨迹可得到轨迹圆与感光板ab的交点扫过的区域的长度.
2.2 课件制作
（1）在输入栏输入：（0，-16），取点S;
（2）在输入栏输入：circle（S，10），作圆心为S，半径为10的圆S;
（3）选择“对象上的点”工具，在圆S上取一点O;
（4）在输入栏输入：circle（O，10），作圆心为O，半径为10的圆O;
（5）选择“射线”工具，作射线SO交圆C于E.则SE为圆O的直径;
（6）选择“交点”工具，圆O与感光板ab（x轴）交于F点;
（7）右击O点设置“启动动画”即可观察到圆O与感光板交点扫过的区域，隐藏不需要的对象，如图7所示.
2.3 课件说明
考虑粒子绕行方向是逆时针，不难发现拖动圆心O可以直观地看到轨迹圆能击中ab最右边的交点到S的连线为直径SE，如图8所示.继续逆时针拖动圆心O，当轨迹圆与 ab相切时，切点是粒子能击中的最左侧的点，如图9所示.求解两个临界状态下交点间的距离，即可得到ab上被α 粒子打中区域的长度.这种情境的展示把抽象的空间轨迹运动模型形象化，使学生解决问题事半功倍.
3 缩放圆（粒子速度方向相同，大小不同）
例3 如图10所示，一足够长的矩形区域ABCD内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在AD边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟AD边夹角θ =30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，AD边长为L，AB边足够长，粒子重力不计，求：粒子能从AB边上射出磁场的v0大小范围.
3.1 课件原理
该粒子射出方向确定，所以其轨迹圆圆心在垂直于射出方向的直线上，半径随射出粒子速度大小变化而变化.在GeoGebra中可通过改变圆的半径来模拟此过程，通过设置“显示轨迹”来记录轨迹圆在该磁场中缩放的过程.
3.2 课件制作
（1）选取“线段”工具，绘制矩形ABCD;
（2）选取“描点”工具，在线段AD上取中点O;
（3）在输入栏依次输入：sequence（（n，-1），n，1，7，2），sequence（（n，-2），n，1，7，2），sequence（（n，-3），n，1，7，2）.用来模拟磁场的“×” 符号;
（4）在输入栏输入：rotate（D，30°，O），将D点逆时针旋转30°至D′点;
（5）选取“向量”工具，连接OD′;
（6）选取“垂线”工具，过O点作OD′的垂线OF;
（7）选取“对象上的点”，在OF上取一点O′.选取“线段”工具，连接OO′，长为l.
（8）在输入栏输入：circle（O′，l）.作以G為圆心，l为半径的圆O′.右击圆O′，设置“显示轨迹”.隐藏不需要的对象和标签.如图11所示.
3.3 课件说明
根据题意，本题粒子运动的轨迹圆是一个缩放圆.拖动圆心O′点即可看到轨迹圆的缩放过程.在拖动O′点的过程中不难发现，要使粒子能从AB边上射出磁场，轨迹圆必须要与AB有交点，临界状态是轨迹圆与AB和CD分别相切时，对应着粒子能打在AB边上的最小和最大轨迹圆半径，如图12和图13所示.
在此过程中，可通过右击圆O′“显示轨迹”，把缩放圆的动态过程记录下来.如图14所示.
教师在实际制作过程中，也可以利用GeoGebra中“圆弧”工具，将未在磁场中的轨迹用虚线表示.
软件GeoGebra由于其简单易学，功能强大，且不需要编程背景，在物理教学中给教师和学生们带来了极大的便利.尤其是粒子在磁场中运动这一章节，知识本身难度非常大，又需要学生具备动态想象能力，对很多学生来说，这一部分学习起来比较困难.而利用软件GeoGebra中的动态功能，将磁场中的“旋转圆”“缩放圆”问题制作成课件，为学生创设可视化、更有体验感的教学情境，可大大降低学生的理解难度和教师的教学难度，且更有利于突破教学难点，达到事半功倍的效果.
参考文献：
[1]明翔宇.巧用几何画板动态分析磁场“缩放圆”和“旋转圆”问题[J].物理教学探讨，2017，35（12）：52-54+58.
[2]陈丽峰.用“动圆”巧解带电粒子在匀强磁场中的运动问题[J].物理教学探讨，2012，30（04）：24-25.
[3]殷正徐，吴伟.GeoGebra软件在高中物理课堂教学中的案例应用分析——以简谐振动和机械波为例[J].物理教师，2017，38（10）：70-73.
（收稿日期：2019-12-06）
