张振中
在平面直角坐标系内，已知平行四边形的两个顶点（不动的），确定另外两顶点（运动的，一顶点在抛物线上，另一顶点在直线上），是抛物线中一类比较综合的题目.笔者利用平行四边形的两个判定（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形和对角线互相平分的四边形是平行四边形），通过平移动点所在直线，得到三条平行线，轻松实现了对抛物线上动点的寻找，使这一类型问题得以轻松解答.试举三例，帮助读者理解“三线摆平”的解决方法.
1 知识准备
1.坐标系中线段平移的描述
在坐标系中线段AB平移到A′B′，我们将其转化为点的平移，进行如下的描述：
如图1，点A平移到点B的过程是：向下平移n个单位，再向左平移m个单位.如图2，点A′平移到点B′的过程是：向下平移n个单位，再向左平移m个单位（点B′平移到点A′的过程是：向上平移n个单位，再向右平移m个单位），我们就说线段A′B′是由线段AB平移得到的.由平移变换的特征可知：线段AB和线段A′B′平行或在同一条直线上.
2.点M夹在平行线中间
如图3，在两条平行线l1，l2各取一点P、Q，连结PQ，取它的中点M，我们称作点M夹在平行线中间.若在l1上取一点H，连接HM并延长交l2与点L，则有ML=MH.
2 典型例题
例1 在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
（1）求该抛物线的表达式;
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标.
分析 （1）利用交点式设y=a（x+1）（x-3），代入点（0，-1），可得抛物线的解析式y=13x2-23x-1.（2）分两种情况讨论：
1.AB为平行四边形的边
（ⅰ）如图4，点A向右平移4个单位到点B，点Q向右平移4个单位到点P.由准备知识1可知，线段AB与线段PQ平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知四边形ABPQ是平行四边形，因为点Q在y轴上，点P就在把y轴向右平移4个单位得到的直线l1上.
l1与抛物线的交点就是所求的点P，点P1的横坐标是4，把x=4代入抛物线解析式可得点P1坐标为（4，53）.
（ⅱ）如图5，点B向左平移4个单位到点A，点Q向左平移4个单位到点P.因为点Q在y轴上，点P就在把y轴向左平移4个单位得到的直线l2上.
l2与抛物线的交点就是所求的点P，点P2的横坐标是-4，把x=-4代入抛物线解析式可得点P2坐标为（-4，213）.
2.AB为平行四边形的对角线
分析 如图6，由对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定可知，线段AB与线段PQ互相平分才能构成平行四边形.我们取AB的中点M，只要点M夹在y轴和与y轴平行的直线中间即可.由于M点坐标为（1，0），则过（2，0）点作y轴平行线l3是符合的直线（可结合知识准备2去分析，不再赘述）.直线l3与抛物线的交点P就是所求，把x=2代入抛物线解析式可得P3坐标为（2，-1）.
我们发现符合条件的P点所在直线是与y轴平行的三条直线（如图7），它与抛物线的交点就是所求，通过知横求纵，就可得出相应的点P的坐标.
例2 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求二次函数的解析式;
（2）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标;若不存在，说明理由.
分析 （1）利用交点式设y=a（x-1）（x+3），代入点（0，2），可得抛物线的解析式：y=-23x2-43x+2.（2）分两种情况讨论：
1.以AC为平行四边形的边
（ⅰ）如图8，点A向右平移3个单位，向上平移2个单位得到点C.将点Q所在的直线向上平移2个单位可得到点M所在直线l1，可知l1与x轴平行且与x轴距离为2，l1与抛物线的交点就是所求点M（过点C作x轴平行线即可得到l1，读者思考理由）.所以点M1的纵坐标是2，可得-23x2-43x+2=2，可得M1坐标为（-2，2），由点C到点A的平移方法，可得Q1的坐標为（-5，0）. （ⅱ）如图9，点C向左平移3个单位，向下平移2个单位得到点A.将点Q所在直线向下平移2个单位可得到点M所在直线l2，可知l2与x轴平行且与x轴距离为2，l2与抛物线的交点就是所求点M.所以点M2、M3的纵坐标是-2，即-23x2-43x+2=-2，可得M2、M3坐标为（-1+7，-2）、（-1-7，-2），由点A到点C的平移方法，可得Q2、Q3的坐标为（2+7，0）、（2-7，0）.
2.以AC为平行四边形的对角线时如图10，
取AC的中点，过点C作x轴的平行线l3，这样可以将中点夹在两平线中间，也就是说以AC为对角线的平行四边形的顶点M就在直线l3（此条线与l1重合）上，M4坐标为（-2，2），可得Q4坐标为（-1，0）.
通过上面的解答，我们发现M点所在直线都是与x轴平行的三条直线（如图11），它与抛物线的交点就是所求，通过知纵求横，就可得出相应的点M的坐标.
例3 如图12，直线y=-13x+1与x轴交于点B，与y轴交于点D，将△BOD绕点O逆时针旋转90°得到△AOC，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B、C，点E、点C关于抛物线对称轴对称.
（1）求抛物线的解析式;
（2）点L是直线BD上一动点，点F是抛物线上一动点，是否存在以点O、E、F、L
为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点F的坐标，若不存在，说明理由.
分析 （1）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.（2）分两种情况讨论：
1.OE为平行四边形的边
（ⅰ）如图12，点O向右平移2个单位，向上平移3个单位得到点E，将直线BD依此平移可得到点F所在直线l1.直线l1的解析式为y=-13（x-2）+1+3=-13x+143.联立y=-x2+2x+3，y=-13x+143，无解，说明无交点.
（ⅱ）如图12，点E向左平移2个单位，向下平移3个单位得到点O，将直线BD依此平移可得到点F所在直线l2.直线l2的解析式为为y=-13（x+2）+1-3=-13x-83，联立y=-x2+2x+3，y=-13x-83，解得x1=7-2536，y1=-55+25318，x2=7+2536，y2=-55-25318，所以F1（7-2536，-55+25318），F2（7+2536，-55-25318）.
2.OE为平行四边形的对角线
如图13，取OE的中點M，坐标为（1，32），过点M作y轴平行线交BD于点P，在平行线上取一点Q，使得MQ=MP，过点Q作BD的平行线l3，中点M夹在两平线中间，l3就是符合以OE为对角线的平行四边形的顶点F所在的直线.l3的解析式的求解过程为：把x=1代入y=-13x+1，得y=23，则MP=32-23=56，所以PQ=53.直线l3可以看作是BD向上平移53个单位得到，解析式为y=-13x+83，联立方程组y=-x2+2x+3，y=-13x+83，可求得F3（7-616，41+6118），F4（7+616，41-6118）.
3 方法归纳
从三例的解答可以看出，利用已知线段特征平移已知直线得到三条平行线，它们与抛物线的交点就是所求.解答过程体现了分类讨论的思想方法，我们进行如下的归纳：
1.已知线段AB（如图14）为边时，有两条平行线
（1）动点所在直线与y轴平行（重合）时，两条平行线位于已知直线两侧，距离为m，利用知横求纵可以求出抛物线上点的坐标（如例1）.
（2）动点所在直线与x轴平行（重合）时，两条平行线位于已知直线两侧，距离为n，利用知纵求横可以求出抛物线上点的坐标（如例2）.
（3）动点所在直线为一次函数y=kx+b时，两条平行线位于已知直线两侧，两直线解析式为y=k（x±m）+b±n与抛物线联立方程组可以求出抛物线上点的坐标（如例3）.
2.已知线段为对角线时，有一条平行线（有时与为边时重合）
作已知线段中点，然后使所作已知直线的平行线将其夹在中间，再利用上述方法求出抛物线上点的坐标（如例1、例2、例3）.
