廖永明
反比例函数上有一定点A（a，n），直线BC与反比例函数交于B、C两点（不与点A重合），当∠BAC=90°时，我们能得出什么结论呢？下面对这个问题进行探究.
图1设反比例函数为y=anx，直线BC：y=kx+b，如图1，过点A作x轴的平行线DE，过点B作BD⊥DE，过点C作CE⊥DE，垂足分别为D，E.可得△ADB∽△CEA，所以BDDA=AEEC，设B（x1，y1），C（x2，y2），则有n-y1a-x1=x2-an-y2，而n-y1=n-anx1=n（x1-a）x1，n-y2=n-anx2=n（x2-a）x2，
所以由n-y1a-x1=x2-an-y2可得-nx1=x2n，即x1x2=-n2，
联立y=anx，y=kx+b，得kx2+bx-an=0，所以x1+x2=-bk，x1x2=-ank，
所以x1x2=-n2=-ank，
所以k=an=xAyA，
而kOA=yAxA，
所以kBC·kOA=xAyA·yAxA=1.
对于不同情形（如点A在第二、第三、第四象限），我们同样可以得到kBC=xAyA.
于是我们得到这样一个结论：
结论 反比例函数上有一定点A，动直线BC与反比例函数交于B、C两点，当∠BAC=90°时，直线BC的斜率为定值：kBC=xAyA，kBC·kOA=1.
特别的，当直线BC经过原点O时，kOC=kBC=xAyA，kOC·kOA=1，此时OA与OC关于y=x或y=-x对称.
那么反过来结论还成立吗？即：反比例函数上有一定点A，动直线BC与反比例函数交于B、C两点（不与点A重合），若保持直线BC的斜率为定值：kBC=xAyA，是否有∠BAC=90°恒成立？经研究发现结论是成立的，证明如下.
证明 设点A（a，n），则反比例函数为y=anx，设直线BC：y=anx+b，B（x1，y1），C（x2，y2），
则有kAB=n-y1a-x1，kAC=n-y2a-x2，
而n-y1=n-anx1=n（x1-a）x1，n-y2=n-anx2=n（x2-a）x2，
所以kAB=-nx1，kAC=-nx2.
联立y=anx，y=anx+b，得anx2+bx-an=0，所以x1x2=-n2，
所以kAB·kAC=n2x1x2=n2-n2=-1，
所以∠BAC=90°.
下面我们来看看该结论的具体应用.图2
例1 如图2，已知函数y=3x与y=kx的图象在第一象限交于点A（m，y1），点B（m+1，y2）在y=kx的图象上，且点B在以O点为圆心，OA为半径的⊙O上，求k的值.
解 由题意知A（m，3m），设点A关于原点O的对称点为A′，则∠ABA′=90°.由所得結论知kOA=xByB，
所以3=m+1y2，得y2=m+13，所以B（m+1，m+13），
所以m×3m=（m+1）×m+13，得m=12或m=-14（舍），
所以k=m×3m=34.图3
例2 如图3，在平面直角坐标系中，函数y=8x的图象与函数y=12x+b的图象相交于A，B两点，点C是函数y=8x的图象右支上一点，连结AC，BC，若∠C=90°，求点C的坐标.
解 设C（a，8a），
因为∠ACB=90°，
所以由所得结论知kAB=xCyC，即12=a×a8，
所以a=2或a=-2（舍），
所以C（2，4）.
例3 如图4，在Rt△OMN中，∠OMN=90°，若反比例函数y=kx（x>0）的图象经过点M（1，m）和点N（4，n），求k的值.
解 因为反比例函数y=kx（x>0）的图象经过点M（1，m）和点N（4，n），
所以m=4n，所以M（1，4n），
作点M关于原点的对称点M′，则M′（-1，-4n），
因为∠M′MN=90°，所以由所得结论知kM′N=xMyM，即5n5=14n，
所以n=12或n=-12（舍），
所以k=4n=2.
例4 如图5，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（k>0）的图象与直线y=k1x和直线y=k2x分别交于点A，B和点C，D，且k1k2≠0，k1≠k2.若顺次连接A，D，B，C四点得矩形ADBC，求证：k1k2=1.
证明 因为四边形ADBC是矩形，
所以∠DAC=90°.
由所得结论知k2=kCD=xAyA，
而k1=kOA=yAxA，
k1k2=yAxA·xAyA=1.
通过以上例题，我们可以发现，熟练应用该性质能够帮助我们快速解决问题，获得事半功倍的效果.
参考文献
吴国庆.抛物线中的一类定点问题探究及其应用[J].中学数学杂志，2018（12）：44-45.
