魏星
在高三的复习迎考教学中，我们遇到了一个解法正确，结果错误的不等式恒成立问题，即后面的题目，找出错因后引出了一些思考.
题目已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e=2.71828…是自然对数的底数.
（1）若函数（x）=f（x）-x+1x-1，求（x）的单调区间；
（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围.
原解（1）略；（2）由g（x）≥kf（x+1）+1（x≥0）恒成立得ex≥kln（x+1）+1在x≥0时恒成立，即kln（x+1）≤ex-1在x≥0时恒成立，因为ln（x+1）≥0，ex-1≥0，若k≤0，则kln（x+1）≤ex-1在x≥0时恒成立；若k>0，由ln（x+1）≤x得kln（x+1）≤kx，由kx≤ex-1知当x=0时，对于任意正实数k都成立，当x>0时，不等式k≤ex-1x，令h（x）=ex-1x（x>0），h′（x）=xex-（ex-1）x2=ex（x-1）+1x2，当x∈（0，1）时，h′（x）<0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）>0，所以h（x）有极小值也是最小值为h（1）=e-1，所以当0 综上，若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立的实数k的取值范围是（-∞，e-1]. 题目的上述原解法，既不完全同于高考参考解法（不分离出参数k，分类讨论，即设h（x）=kln（x+1）-（ex-1）（x≥0），先由h′（x）=kx+1-ex观察出符合条件的k的范围，再否定不合条件的k的范围），也不全同于异于高考参考解法的分离参数法，即由ex≥kln（x+1）+1解出k≤ex-1ln（x+1），求k（x）=ex-1ln（x+1）（x>0）的值域，而是两种方法混合之，解法是没有问题的，但结果是错误的. 问题出在时下一个比较流行的错误命题（k≤f（x）恒成立k≤f（x）min）上，根据这 错误命题，解决k≤f（x）恒成立就必须求得f（x）min，原解法的问题就出在求h（x）=ex-1x 的最小值上，即由h′（x）=xex-（ex-1）x2=ex（x-1）+1x2，当x∈（0，1）时，h′（x）<0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）>0，h（x）min=h（1）=e-1，这是错误命题下观察不细致误，事实上，当x∈（0，+∞）时，h′（x）>0恒成立，h′（1）=1≠0，即h（x）=ex-1x（x>0）的最小值不是h（1）=e-1，h（x）=ex-1x（x>0）根本就没有最小值，要正确解出，还得根据正确命题（k≤f（x）恒成立求f（x）的值域得最佳不等式）求函数h（x）=ex-1x（x>0）的值域，还必须用函数的极限，特别是洛比达法则求极限，这样，题目（2）的解法可修正为下面的正确解法1. 解法1（2）由g（x）≥kf（x+1）+1（x≥0）恒成立得ex≥kln（x+1）+1在x≥0时恒成立，即kln（x+1）≤ex-1在x≥0时恒成立，因为ln（x+1）≥0，ex-1≥0，若k≤0，则kln（x+1）≤ex-1在x≥0时恒成立；若k>0，由ln（x+1）≤x得kln（x+1）≤kx，由kx≤ex-1知当x=0时，对于任意正实数k都成立，当x>0时，不等式k≤ex-1x，令h（x）=ex-1x（x>0），h′（x）=xex-（ex-1）x2=ex（x-1）+1x2，令r（x）=ex（x-1）+1（x≥0）， r′（x）=exx≥0，r（x）的增区间为（0，+∞），又r（0）=0，所以r（x）≥0，从而h′（x）>0，h（x）的增区间为（0，+∞），limx→0+h（x）=limx→0+ex-1x=limx→0+ex1=1，limx→+∞ex-1x→+∞，即h（x）的值域为（1，+∞），值域用不等式表示就是1 综上，若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立的实数k的取值范围是（-∞，1]. 题目（2）正确解法1，既要分类讨论，又要分离参数，还要放缩不等式，那就不如单用分类讨论或单用分离参数，即下面的几种解法. 解法2g（x）≥kf（x+1）+1为kln（x+1）+1≤ex，解出k≤ex-1ln（x+1），令k（x）= ex-1ln（x+1）（x>0），经过多次求导（由于过程较繁，求导过程略，题目原解答就是考虑到多次求导麻烦，才通过放缩不等式kln（x+1）≤kx≤ex-1转化为求导较简单的h（x）=ex-1x）可知k（x）增区间为（0，+∞），limx→0+ex-1ln（x+1）=limx→0+ex1x+1=1，k（x）值域为（1，+∞），用不等式表示就是最佳不等式1 解法3g（x）≥kf（x+1）+1为ex≥kln（x+1）+1，由g′（0）=[kf（0+1）+1]′得k=1（从图象上看，不等式两端的两个函数在x=0处的切线都是直线y=x，左端函数图象全在直线y=x上方，右端函数图象全在直线y=x下方），先证明ln（x+1）+1≤ex对x≥0恒成立，令h（x）=ln（x+1）+1-ex（x≥0），h′（x）=1x+1-ex≤0，h（x）减区间为（0，+∞），h（x）max=h（0）=0，h（x）=ln（x+1）+1-ex≤0，即ln（x+1）≤ex-1，两端同除以ln（x+1）得最佳不等式1 解法4g（x）≥kf（x+1）+1为ex≥kln（x+1）+1，即kln（x+1）+1-ex≤0，令 h（x）=kln（x+1）+1-ex（x≥0），h′（x）=kx+1-ex，当k≤1时，h′（x）≤0，h（x）减区间为（0，+∞），h（x）max=h（0）=0，所以h（x）=kln（x+1）+1-ex≤0，即kln（x+1）≤ex-1恒成立；当k>1时，举反例证明h（x）=kln（x+1）+1-ex≤0不成立（过程略，可参看高考解法），所以k≤1. 一般地，分类讨论能解决的问题，分离变量（能分离的话）也必能解决，分离变量后就是求不含参的函数值域问题，但一般要用函数的单调性，导数与极限，现时教科书不讲函数极限，在许多问题中致使通法不通，最终还是用极限，如limx→∞kx=0，limx→+∞qx=0（0 参考文献 [1]熊福州，张正威.不是通法失效，而是通法没教通[J].中学数学研究，2015（5）
