林品吟+何小亚+朱源
【摘要】在古典概型的学习中，学生的困惑常常表现为：对基本事件的内涵把握不到位；混淆具体问题与概率模型的关系；存在等可能性偏见.其原因主要有以下三点：教材处理简单化，对基本事件本质属性的解读不足；教师的概率统计知识相对薄弱，对古典概型的认识不够深刻；高中数学课程内容较多，古典概型部分学时过少.为帮助学生在有限的学时内解决上述困惑，建议在古典概型第一课时的教学中淡化计算、突出概念，最后以一个教学设计作为示范.
【关键词】基本事件；古典概型；等可能性偏见1问题的提出
概率有四种常见的定义：古典概型、统计定义、几何概型、公理化定义.在数学史上，古典概型是最早出现的，它既是解决现实生活中概率问题的一个重要工具，也对后续概率统计的学习有着深远意义.在2003年颁布的《普通高中数学课程标准》（实验）中，古典概型的教学目标是：通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率[1].然而国内外的一些调查均发现，学生乃至教师对古典概型的相关概念存在错误认识[2-5].
那么在古典概型的实际教学中，学生究竟存在哪些常见的理解困难？是什么原因导致的？有怎样的教学对策？本文将对上述问题进行一一探讨.
2古典概型的难点、原因及教学对策
2.1理解难点
基本事件
学生在确定基本事件的时候经常困惑的一点是：基本事件究竟有几个？
例如人教A版[6]32古典概型：学生不理解例1“从4个字母中任意取出两个不同的字母”是否需要考虑顺序；学生对“将一颗骰子先后抛掷2次产生36个基本事件”容易理解，而对例3中“同时抛掷两个骰子产生36个基本事件”不易理解，为什么要给两颗相同的骰子分别标上1，2的记号，以示“有顺序”所得的不同结果方为正确；又如人教B版教材[7]32古典概型：例1“抛一枚骰子，观察掷的点数，求掷得奇数点的概率？”有的学生列出的试验结果是{1点，2点，3点，4点，5点，6点}，有的学生列出的试验结果是{奇数点，偶数点}.试验可能出现的结果究竟是否唯一等等.学生存在这些困惑均表明其对基本事件概念的把握不到位.
“基本事件”在柯氏的概率公理化定义中就是指样本空间中的样本点，“基本事件组”则是样本空间.用样本点来理解“基本事件”、样本空间来理解“基本事件组”，可概括出“基本事件”与“基本事件组”本质属性包括：（1）基本事件组是随机试验中所有可能出现的结果所构成的集合，不同研究者出于不同的研究目的，其眼中的试验结果（即基本事件组）可能不同.如掷一枚骰子，研究者A关心的可能是具体点数，其基本事件组就是{1点，2点，3点，4点，5点，6点}，研究者B关心的可能是奇偶性，其基本事件组就是{奇数点，偶数点}；（2）基本事件组中的元素即为基本事件；（3）在同一基本事件组中，任意两个基本事件是独立的；（4）研究者一旦将基本事件组确定下来，则其所能研究的任意随机事件均可由该基本事件组中的基本事件构成.基于以上认识，基本事件的确定方式不是唯一的.
具体问题与概率模型的关系
学生在理解古典概型时的一个主要难点是问题与概率模型的关系，例如在人教B版33随机数的含义与应用例1的转盘问题，学生常常纠结于它是几何概型还是古典概型？实际上，学生在此犯的错误是混淆了具体问题与概率模型的关系。两者的逻辑关系是：针对具体的问题，通过构建合理的概率模型，进而解决之.因此，几何概型和古典概型可能同时适用于解决同一个问题，它们只是针对该问题所构建的概率模型，而不是实际问题本身.
等可能性偏见
学生在运用古典概型解决问题时的一个常见错误是等可能性偏见，即：若一个随机试验中有n个可能结果，则每个结果的可能性都是1n.例如人教A版例3“同时掷两个骰子，一共有多少种不同的结果”.有的学生认为有21种可能的结果，每一个结果的可能性都是121.
另外，针对古典概型等可能性偏见，张敏、何小亚对广东省高中数学教师进行了调查，发现教师也和学生一样，存在等可能性偏见的误区，而且程度比较严重[8].
2.2原因分析
1.教材编写层面
各版本教材采用“基本事件”的说法替代“样本点”乃出于将抽象概念具体化的目的，使之符合高中生的认知水平.然而纵观使用范围较为广泛的新课标教材，或是采用揭示外延的方式定义基本事件，如人教A版；或是简单地定义基本事件是试验中不能可再分的最简单的随机事件，如人教B版.其共同特点是对基本事件的本质属性的解读不够，使学生误以为一个试验只有一种构造基本事件的方式，从而对后续古典概型和几何概型的学习产生负迁移.
2.教学设计层面
高中数学的教学任务重、时间紧，而古典概型的教学只有2个课时，因此教师在进行教学设计时容易忽视分析问题、从不同视角构建基本事件组的过程，导致学生缺少建立概率模型的活动经验，从而难以对古典概型形成准确而深刻的认识.
2.3教学对策
1.引入基本事件组的概念
基本事件组对应着公理化定义中的样本空间，在高中古典概型的教学中，引入基本事件组的概念能在保证定义较为直观的基础上，更好地解释基本事件组的不唯一性，而基本事件的完备性仅指研究者希望研究的所有随机事件均在基本事件组的子集簇中.通过具体实例，引导学生从不同的视角构建起基本事件组，进而对上述基本事件组进行逐一检验，从中概括基本事件组与基本事件的本质属性.
2.让学生经历数学建模的全过程
《普通高中数学课程标准》（实验）将古典概型安排在必修3，计数原理安排在选修23，其目的是为了在必修3中淡化古典概型的运算，将重点聚焦到古典概型的理解上.因此，教师应把握课标的理念，在教学中通过具体问题，总结并强调建立概率模型的主要步骤，其中包括：表征问题、构造基本事件组、根据基本事件组鉴别所属概率模型、解模、对原问题作出回答.通过建立概率模型解决问题的全过程，帮助学生区分实际问题与概率模型，渗透数学建模的思想.
3古典概型的教学新设计
3.1学情分析
认知基础学生在初中阶段对概率有了初步的认识，在高中阶段学习了随机事件的概率以及互斥事件和对立事件的概念，了解随机事件的不确定性和频率的相对稳定性，并体验通过大量重复的的试验得到随机事件的频率的近似值.
认知障碍如何确定一个随机试验中的基本事件组.
3.2教学重难点
教学重点
（1）理解基本事件两个特点：互斥性、完备性.
（2）理解古典概型的两个特点：等可能性、有限性.
教学难点
（1）理解基本事件是人为规定的，对于同一问题，可能存在不同的基本事件组，如掷一枚骰子，研究者A关心的可能是具体点数，其基本事件组就是{1点，2点，3点，4点，5点，6点}，研究者B关心的可能是奇偶性，其基本事件组就是{奇数点，偶数点}.
（2）理解基本事件的第二个特征（完备性）是指研究者感兴趣的任何随机事件都能通过若干基本事件构成.
3.3关键点
1.引入基本事件组的概念，引导学生从不同角度构建基本事件组并从中概括基本事件的特点.
2.引导学生通过对具体问题的表征从而构造基本事件组，并根据基本事件组鉴别是否满足古典概型的两个特征，最后对问题作出解答.
3.4教学目标
知识与技能
（1）了解基本事件提出的合理性和必要性，理解其两个特征：互斥性和完备性.
（2）学会运用列举法列出随机试验的所有基本事件.
（3）理解古典概型的两个特征：有限性和等可能性.
（4）掌握建立古典概型解决问题的主要步骤：表征问题→构造基本事件组→检验是否为古典概型→解模→对原问题作出回答.
过程与方法
（1）通过将具体问题的解法提炼上升为古典概型的过程，领悟从特殊到一般的数学探究方法.
（2）经历建立古典概型解决问题的过程，渗透数学建模思想.
情感态度与价值观
从具体问题出发，经历基本事件和古典概型的“再发现”，体验数学源于现实，高于现实的特点.
3.5教学过程
复习引入，提出问题
（1）复习
①互斥事件、对立事件的概念
②概率加法公式及其前提条件
设计意图互斥事件的概念和概率加法公式是学习古典概型的知识基础，在此复习是为了激活学生的相关图式，为接下来的学习做准备.
（2）提出问题
师：在17世纪的欧洲宫廷中盛行着“赌博游戏”，贵族们热衷于估计游戏中各种可能结果发生的概率，这直接影响到他们在游戏中的收益.作为当时大名鼎鼎的数学家，帕斯卡、费马等人也因此被不少贵族咨询关于赌博的问题.以下就是当时一个非常经典的问题：同时抛掷两枚骰子，游戏参与者事先可以选择点数之和小于等于6或点数之和大于6，问应选择何者可使获胜的机会更大？今天我们穿越时空，来到文艺复兴后的欧洲宫廷，各位同学可否帮助贵族们解决上述问题？
师：其实问题的实质就是比较上述两个事件发生的概率大小，那么怎样才能知道两者的概率呢？
生1：做重复试验.
师：嗯，也就是通过多次重复试验，用频率估计概率.但是这种方法耗时耗力，并且只要游戏规则一变，就必须再做试验，比如好事者把游戏参与者可选择的结果改为：①点数之和小于等于5和点数之和大于5；②点数之和为2～5、6～9或9～12；③…….同样是抛掷两枚骰子，花样层出不穷，难道我们也只能跟着做反反复复的试验？这可不是数学家的风格，我们追求的是以不变应万变！有没有更好的办法？
（班上一时陷入沉默）
设计意图在数学史上，概率理论的研究源于赌博游戏.为学生设置一个具有历史背景的实际问题，可帮助其发现原有知识（用频率估计概率）的局限性，从而产生对新知识、新方法的诉求，起到了先行组织者的作用.
分析问题，明确目标
师：我们先来分析一个简单点的问题，把骰子减至一枚.那么抛掷它一次，所有可能的结果是什么？
生1：1点、2点、3点、4点、5点、6点.
师：这六种结果的概率分别是多少？
生2：都是16.
师：前提是这枚骰子是质地均匀的，换句话说，这里没有居心不良的玩家.在这种合理的假设之下，P（1点）=P（2点）=P（3点）=P（4点）=P（5点）=P（6点），又由于其概率之和为1，所以六种结果的概率均为16.那么随机事件“点数为1或2”的概率呢？
生3：13，用概率加法公式.
师：很好，因为点数为1的事件与点数为2的事件是互斥的，因此可以用概率加法公式.点数为偶数的概率呢？
生4：12.
师：点数小于4的概率呢？
生5：12.
师：很好！其实在这个游戏里边，只要知道了P（1点）=P（2点）=P（3点）=P（4点）=P（5点）=P（6点）=16，那么其他事件的概率都可以通过概率加法公式计算出来，因为：①上述6个事件是互斥的；②其他事件可由上述6个事件组合得到.
师：这个游戏可以给我们一个启发，即在一个随机试验中，如果我们能够获知它的某些互斥的随机事件发生的概率，那么就可以利用概率加法公式求得其他可由上述事件组合而成的事件发生的概率.这是一个非常棒的想法！这样看来，上述互斥的随机事件可跟其他事件的地位不一样啊！鉴于其突出贡献，我们有理由给它一个专属的名字，大家有什么想法？
生6：“小”事件.
生7：“父母”事件.
师：“父母”事件，有意思！这个比喻非常传神，那么其他事件就是“儿子”事件咯.可惜我们晚出生了几百年，已经有人为这些随机事件命名了，他们把它称作“基本事件”，也很贴切.现在同学们能不能总结一下基本事件的特点？
生8：互斥.
师：嗯，只有这样才能运用概率加法公式.还有吗？
生9：能组合成其他事件.
师：也就是完备性.任何我们感兴趣的事件都可以由基本事件组合而成.那我们可以总结出基本事件的特点是：（1）互斥性：任何两个基本事件是互斥的；（2）完备性：任何随机事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
设计意图通过对实际问题的分析，帮助学生明确解决问题的目标，即用少数互斥的随机事件来研究其他随机事件，从而自然地提出基本事件的概念，既反映了此概念的合理性，也反映了其必要性.
达成目标，总结通法
师：现在，我们回到赌博的情景中来——同时抛掷两枚骰子的随机试验.通过刚才的分析，我们现在的目标是找到这个试验的基本事件，请各位同学思考几分钟，把它们找出来，用列举法把它们一一列出来.另外，大家不妨把所有的基本事件用大括号括起来，表示它们组合成了一个整体，我们把它叫做“基本事件组”.
生10：{2点，3点，4点，…，11点，12点}.
生11：{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），…，（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.
师：谁对谁错？
生：……
师：如果我们研究的是点数和的问题，那么上述两种构造基本事件的方法都是对的，因为它们都符合基本事件的特点：互斥性和完备性.但是从实际解决问题的效用来看，生11的方法更可行，因为在他的基本事件组中有36个基本事件，其中每个基本事件发生的概率都是相同的，为136.我们可以很容易准确地数出满足点数和小于等于6的基本事件有10个.根据概率加法公式，这10个基本事件的概率之和即是事件A（点数和小于等于6）的概率P（A）=1036=518.我们再看生10构造的基本事件组{2点，3点，4点，…，11点，12点}，其难以解决问题的原因在于基本事件组中11个基本事件是不等可能的，所以它们的发生概率不容易求.现在我们算是完美地解决了贵族们的掷骰子问题，但是数学家的眼光可绝不仅限于解决一个具体问题，而要追求将解决一个具体问题的方法上升到解决一类问题的通法.刚刚已经谈到，对于一个随机试验，它的基本事件组是不唯一的，按照研究者的视角，只要其中的基本事件符合互斥性和完备性即可.但是，基本事件组中的基本事件必须是易求概率的，否则用基本事件研究其他随机事件的想法将成为无米之炊、无本之源.那么，什么样的基本事件满足易求概率的要求呢？请各位同学参考抛掷骰子的例子总结一下.
生12：各基本事件发生的概率相等.
师：非常好，这是第一个特点.如果基本事件组中有n个等可能的基本事件，那么由概率的加法公式可得：每一个基本事件发生的概率就是基本事件总数的倒数即1n.还有其他要求吗？
生：……
师：还有一个特点，基本事件的总数应该有限.我们观察一下n，当基本事件有无数个的时候那么n无穷大，取倒数得每个基本事件发生的概率都为0，而其他事件又由上述基本事件组成，是否意味着其他任何事件的概率都为0？
生13：不可能……
师：嗯，显然是有问题的！这种情况我们以后再研究，有其他的方法可以解决.现在我们来总结一类易求概率的基本事件组的特点：①基本事件组内各基本事件发生的概率相等；②基本事件组中的基本事件总数有限.
师：对于一个实际问题，如果我们构造的基本事件组满足上述两个特点即其基本事件满足有限性和完备性，那么各基本事件发生的概率就是基本事件总数的倒数.从而，当我们要研究其他随机事件发生的概率时，只需要分析其由多少个基本事件组成即可.我们总结一下：如果基本事件总数为n，事件A中包含m个基本事件，那么我们用mn描述随机事件A出现的可能性大小，称它为随机事件A的概率，记作P（A）=mn.并且，满足上述两个特点的基本事件组是很多的，特别在17世纪，可以解决大部分赌博问题了！由于这种概率模型相较于其他模型而言提出的时间更早，已有近400年历史，因此数学家现在把它叫做“古典概型”.接下来我们再通过一些问题来感受一下它的妙用！
设计意图通过前述目标的达成，将解决掷骰子问题的方法上升到解决一大类问题的通法，从而自然地提出古典概型及其概率计算方法.
例题讲解，强化概念
例1从字母a，b，c，d中任意取出两个不同的字母，问含有a的概率有多大？
分析：该题有两种构造基本事件组的方法：①不考虑顺序，X1={（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}；②考虑顺序，X2={（a，b），（a，c），（a，d），（b，a），（b，c），（b，d），（c，a），（c，b），（c，d），（d，a），（d，b），（d，c）}.并且两个基本事件组均符合古典概型的特点，故运用古典概型的概率计算公式可得含有a的概率为12.
设计意图通过该例题，强调基本事件组的构造方式是不唯一的.同时让学生经历建立古典概型解决实际问题的全过程（图1），从而厘清具体问题与古典概型的关系：后者是为了解决前者而构建的一种数学模型.
图1建立古典概型解决问题的过程
例2抛掷两枚硬币，求结果为一正一反的概率？
分析该题有两种构造基本事件组的方法：①X1={（正，正），（正，反），（反，反）}；②X2={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}.两种方式所构造的基本事件都满足互斥性和完备性，但方式①中三个基本事件的发生概率是不相等的，因此X1不属于古典概型.
设计意图通过该例题，强调运用古典概型解决问题必须对等可能性和有限性进行检验，预防学生犯等可能性偏见的错误.
变式练习，巩固概念
练习1在20瓶饮料中，有2瓶已经过了保质期.从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少？
练习2在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京.从这7名同学中任取2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？
练习35本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为多少？
设计意图由于设置练习的目的是帮助学生巩固这节课的重点内容：理解基本事件及古典概型的概念，而古典概型的运用放在第二课时展开，因此选择人教A版必修三P130的三道练习题供学生随堂巩固，难度不大.
课堂小结，布置作业
小结
（1）基本事件的两个特点：互斥性；完备性.
（2）古典概型的两个特点：等可能性；有限性.
（3）建立古典概型解决实际问题的步骤（图1）.
作业
人教A版必修三习题32第1题，第3题.
参考文献
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