1 问题的提出
2020年旧课标全国Ⅰ卷理科的第20题第二问主要考查圆锥曲线中动直线恒过定点问题.这是解析几何中的难点问题，也是这些年来高考题中常考不衰的热点问题.事实上早在2010年的江苏高考第18题就是此同类型题目.此类题目的典型特征是条件清晰易懂，但大部分学生难以将条件一步步转化为“过定点”这个目标，同时计算繁琐，往往半途而废.那么，此类型题目究竟有何破解策略？有无减少计算量的技巧？解题教学中如何引导学生选择合适的方法？
笔者对此类圆锥曲线中的过定点问题进行了初步探讨，现将研究过程和感悟整理成文，借此抛砖引玉.
为了研究的方便，笔者将上述高考题改编和简化为问题1：在平面直角坐标系xOy中，如上图，已知椭圆x24+y23=1的左、右顶点为A，B，右焦点为F.点P在直线x=4上，过点P的直线PA，PB与椭圆分别交于M，N两点.
求证：直线MN必过一定点.
2 问题的破解策略
从结论看要证明的是动直线恒过一定点，这类问题一般有两种解决思路：第一种思路是先找到一个定点Q，再证明M，N，Q三点共线恒成立;第二种思路是用适当的参数表达出动直线MN的方程，再从这个直线方程证明恒过定点.进一步看，使用第一种思路需要表达出M，N两点的坐标，并用尽可能少的参数表示，而使用第二种思路除了可以选择表达出M，N两点的坐标后进一步表示出直线的方程，也可以设直线方程为x=my+n后利用已知条件寻找到m，n的关系进而确定是否恒过定点.根据上面两种思路，结合如何设点或设线，可以有以下几种策略：
点评 联立曲线方程后直接用求根公式表示出来是比较少见的做法，一般都尽量做到“设而不求”，即用韦达定理表示两根之和与两根之积，原因在于一般题目的限制条件往往可以通过化简转化为用两根之和与两根之积来表达.然而本题中的限制条件①比较特殊，因此可以考虑直接用求根公式这个更为原始和直接的表达方法，当然由此也可能使计算更加复杂.值得一提的是从理论上这个解法肯定是行得通的，选择了这种方法要有信心和耐心去处理较为繁杂的式子，事实上①式全部化為用M，N表示后许多式子可以化简消去，计算量并不比证法4大太多.
3 对恒过定点问题的反思
3.1 解法上的反思
策略一所用的“设点而求之”是最为常规也是最容易让学生理解和接受的方法，其解法特点是顺着题意由此及彼，步步为营，不过计算需要多点耐心;策略二所用的“设点而不求”需要较为巧妙的变形技巧，并且对数学式子要有一定的敏锐性，比较适合基础较好、思维敏捷的学生掌握;策略三所用的“设线而不求”也是常规方法，此法要兵分两路，一路设直线方程后联立曲线方程利用韦达定理找到根（交点的坐标）与系数（直线的参数）的关系，另一路则将题目中的限制条件用交点坐标等相关量表达出来（此题限制条件较为复杂，宜使用证法5转化），然后两路兵马会师，得到直线参数间的关系进而确定动直线的定点，此法需要学生经过一定程度的反复训练和理解，形成套路;策略四所用的“设线而求之”是“设线而不求”这个策略的补充，当限制条件难以转化为只用“两根之和”与“两根之积”表示时，可以考虑这种方法.
3.2 运算上的反思
点评 解法2咋一眼看起来计算很繁杂，事实上很多式子可以快速化简，因此计算量并不大，对于无法想到解法1中那关键一步处理技巧的学生来说，解法2不失为一个原始但有效的方法.
5 结束语
圆锥曲线中的过定点问题的解决策略往往不止一种，虽然不同策略最终结果是殊途同归，但每种策略都有它的适用特点和应用技巧，在教学中应引导学生仔细对比和分析不同解法的关键步骤，感悟其中的巧妙之处，并学会根据不同的限制条件使用最擅长的策略.当然，对于接受能力一般的学生来说，教学中宜尽量以常规方法的引导为主，不适合强加太多解法，避免解题思维混乱，增加学习负担.
作者简介 邓城（1983—），男，广东大埔人，教育硕士，一级教师，主要从事高中数学教学和研究工作.在数学类期刊上发表20多篇论文，曾获广东省数学竞赛优秀指导教师和区教学能手称号.
