摘 要：新课程增加了导数的内容，给解析几何增加了新颖的题型，圆锥曲线中与切线有关的问题在高考中也频繁出现，对圆锥曲线的一类切线问题进行探索，体现圆锥曲线的统一性和和谐性。
关键词：圆锥曲线；切线；数学
在高中数学中，解析几何所涉及的数学知识多，数学思想丰富，计算量大而成为高考得分率偏低的主要原因。如何对解析几何的学习形成有效的措施，是高三数学复习的师生不可回避的问题。新课程增加了导数的内容，给解析几何增加了新颖的题型，圆锥曲线中与切线有关的问题在高考中也频繁出现。本文主要对高考中出现的有关圆锥曲线的切线的问题探讨本人的一点认识。
一、 知识回顾
（一） 过圆锥曲线上一点的切线方程
1. 过圆x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程：
xx0+yy0=r2
2. 设P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0a2+yy0b2=1
3. 设P（x0，y0）为双曲线x2a2-y2b2=1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0a2-yy0b2=1
4. 设P（x0，y0）为抛物线y2=2px上的点，则过该点的切线方程为：
yy0=p（x+x0）
（二） 圆锥曲线的切点弦方程
1. 设P（x0，y0）为圆x2+y2=r2外一点，则切点弦的方程为：
xx0+yy0=r2
2. 设P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1外一點，过该点作椭圆的两条切线，切点为A，B则弦AB的方程为：
xx0a2+yy0b2=1
3. 过P（x0，y0）为双曲线x2a2-y2b2=1的两条作两条切线，则切点弦方程为：
xx0a2-yy0b2=1
4. 设P（x0，y0）为抛物线y2=2px开口外一点，则切点弦的方程为：
yy0=p（x+x0）
对切线方程和切点弦方程的推导可用隐函数求导或用直线与圆锥曲线的位置关系等方法推理，在此不再累述。
例1 过椭圆C：x24+y2=1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.求证：直线AB恒过一定点。
【解】（1）设M-（434）（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），则AM的方程为x1x4+y1y=1
∵点M在MA上 ∴33x1+ty1=1① 同理可得33x2+ty2=1②
由①②知AB的方程为33x+ty=1，即x=3（1-ty）③
易知右焦点F（3，0）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（3，0）。
二、 类比推理
1. 已知抛物线y2=2py的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且AF=λFB（λ>0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，则FM⊥AB，并且点M在准线上。
2. 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦点为F2，A，B为椭圆的两动点，且AF2=λF2B（λ>0），过A，B两点分别作椭圆的切线，设其交点为M，则F2M⊥AB，并且点M在右准线上。
3. 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>b>0）右焦点为F2，A，B为双曲线的两动点，且AF2=λF2B（λ>0），过A，B两点分别作双曲线右支的切线，设其交点为M，则F2M⊥AB，并且点M在右准线上。
由此，我们可以得出，过圆锥曲线的焦点F，任作一直线，与曲线交于AB两点，曲线在这两点处的切线的交点为M，则M在这焦点对应的准线上，且FM⊥AB。
作者简介：
陈华，福建省南平市光泽二中。endprint
