摘 要：高中数学概率分布中二项分布与超几何分布是两个重要的内容，学生对这两模型的定义不能很好地理解。再来谈谈超几何分布和二项分布的联系与区别，可以让学生彻底掌握两个分布的应用。
关键词：辨析；概率；分布
一、 正确理解两个定义是解题的基础
1. 二项分布 （有放回抽样）
若有N件产品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n件，则其中恰有次品的件数X服从二项分布。公式P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n
2. 超几何分布 （无放回抽样）
若有N件产品，其中M件是次品，无放回地任意抽取n件，则其中恰有次品的件数X服从超几何分布。公式P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，n
例如：假设一批产品有100件，其中次品为10件。那么：（1）从中抽取一件产品，为正品的概率？这种可能结果只有两种（抽的结果正品或次品）情况下就可以归纳为两点分布.（2）有放回的抽样，抽n次，出现正品数的分布.这个就是二项分布了.首先，这n次试验可能出现的正品数为0～n；它相当于做了n次试验，每次都是两点分布，也就是说你这抽取n次，每次是正品的概率都是0.9.（3）如果不放回抽取m（≤100）个，这m件产品次品数的分布如何？此问就是超几何分布了，当然这个时候要讨论m与10谁大，以便确认分布的可能取值。以上显然是比较两种分布的实例，超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取，当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。
二、 辨析被抽取样本数量多少是解题关键
两者之间的关系：样本个数越大，超几何分布和二项分布对应的概率值差别就越小，当样本个数为无穷大时，超几何分布和二项分布对应的概率就相等，换言之，超几何分布的极限就是二项分布。下面用两道质检题来加以区别与联系。
【例】 2017泉州市质检中的第19题概率题
某校为了校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示。
（1）求a、b、c的值；
（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”“不合格”的学生中选取10人进行座谈，现再从这10人中任先选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求的分布列及数学期望 E（ξ）；
等级不合格合格
得分[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）
频数6a24b
解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[20，40）频率为0.005×20=0.1
故抽取的学生答卷数为60.1=60，又由频率分布直方图可知得分在[80，100）频率为0.2，所以b=60×0.2=12，又6+a+24+b=60，得a+b=30，所以a=18，c=1860×20=0.015
（2）“不合格”与“合格”的人数比例为24∶36=2∶3
因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人
所以ξ有20，15，10，5，0共5种可能的取值P（ξ=20）=C46C410=114，P（ξ=15）=C36C14C410=821，P（ξ=10）=C26C24C410=37，P（ξ=5）=C16C34C410=435，P（ξ=0）=C44C410=1210
ξ的分布列為：
ξ20151050
P114821374351210
所以E（ξ）=20×114+15×821+10×37+5×435+0×1210=12
例题中是从有限的10人中选4人，被抽取的样本有限，是一种超几何分布。
两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化。“返回”和“不返回”就是两种分布转换的关键。
参考文献：
[1]《新课程学习·中》.2013年第03期.
[2]《高中生学习·高二版》.2012年第12期.
作者简介：
洪金坚，现就职于福建省南安市第三中学。endprint
