王翠丽
摘要：在高中阶段的学习中，学习了向量等概念，这是线性代数中的一个基本概念。其实，向量与矩阵、行列式、线性方程组等都有密切的关系。本文主要阐述向量与线性方程组的关系。
关键词：高中数学；线性方程；向量
今天，我们先从最简单的线性方程组谈起。
对于单个方程的情形，如方程x-y=1，从几何上看，它是一条直线。如果要谈到这个方程的解，则它的解可以认为是无限多个，这是由于任何形如（k，k-1）（k是实数）的数对都是它的解。
这个方程组由于两条直线相互平行，没有交线，所以无解。
这样，从这几个简单的例子可以看出，线性方程组可以分成无解、有唯一解和多解的情形。那么我们研究线性方程组，就是要判断它是有解还是无解，如果有解，是唯一解还是很多解，并要将这个解求出来。这个问题看起来好像很复杂，但是线性代数的威力就是将这样看似复杂的问题变得简单。
还有一种情形值得我们注意。看下面的方程组
显然，这个方程组有解（1，1），并且也是唯一的。
这个方程组解在存在性唯一性没有问题，但是，这三个方程当中，我们只需要其中的任意两个方程，就可以求出解来。也就是说，有一个方程是多余的。事实上，我们容易看出，第一个方程乘2加上第二个方程乘-1，整理后就得到第三个方程。同样，我们也可以用第二和第三个方程得到第一个方程。这样，我们可以认为，这三个方程中，只有两个是真正有效的。
一个方程组中，有多少个方程是真正有效的？怎样从中选出有效的方程？这也是我们要面对的重要问题。
下面我们以有两个未知数的方程组为例，讲了方程组可以有无解、唯一解和多解等各种情况，以及方程组的有效方程的个数。我们不难将其推广到多个未知数的情形。
以三个未知数为例。
这个方程组有唯一解（1，1，1）。从几何意义上看，方程组中的每个方程代表一个三维空间中的平面，三个平面就有三条交线，那个这个方程组有唯一解就意味着这三条交线交于一点。于是，我们不难想象，这样形式的方程组依然存在无解和有很多解的情形。例如，如果这三条交线互相平行（这时三个平面相交的部分形成了一个三棱柱），则方程组无解。而如果这三个平面交于一条直线，或者干脆这三个平面重合了，那么方程组就将有无穷多解。
对于未知数多于4个的情形，由于我们看不到四维空间，我们只能凭我们的想象了。即使这样，由于方程组个数的增加，以及未知数个数的增加，所造成的几何方面的复杂性使得我们无法从空间上去理解方程组的几何意义。怎样更加有效地去研究线性方程组，并且对方程组解的性质有一个深入透彻的理解呢？
向量是解决这个问题的有效武器。我们在解析几何中学过向量，在物理中学过向量，但是向量在处理线性方程组方面发挥的作用却是令人难以置信的。“向量”，从字面上看，就是有方向有大小的一个东西。我们在线性代数中接触的向量，和物理中的向量略有不同。我们知道，一个力有三个要素：大小，方向，作用点。如果两个力，这三个要素都是相等的，那么我们就认为这两个力是相等的。但在本门课程中，向量只有两个要素：大小和方向。两个向量，只要这两个要素相同，就认为是相等的。换句话说，向量中没有平行这个概念（虽然
我們有时也称作平行），只有重合（长度相等且方向相同）或者共线（长度不等或者方向不同）。这也是非常合理的。比如我们生活中说的“东”，就是一个方向。在不同的起点，都有“东”这个方向。当我们说“东”的时候，都是指同一个方向。
向量最基本的运算就是加法和减法，或者统一说是加法。这是由于α-β=α+β向量的加法，也就是将它们的各个分量分别相加。 众所周知，向量的加法满足平行四边形法则。即把向量α和β看成平行四边形的两条边，那么α+β所对应的向量就是这个平行四边形的对角线所对应的向量。
实际应用中，我们不如记三角形法则更为方便。也就是说，把两个向量α和β首尾相接，则连结α的始端和β的终端的向量就是二者的和。
三角形的法则，虽然和平行四边形法则实质上是一样的，但是，三角形法则对多个向量的加法更加实用。事实上，我们只要把要求和的向量逐个首尾相接，则第一个向量的始端和最
后一个的终端连结起来的向量，就是这些向量的和所对应的向量。endprint
