摘要：定积分是积分学中的重要内容之一，计算方法有很多，除了常用的定积分的定义、性质、N-L公式、换元法、分部积分法之外，还有很多方法和技巧很容易被忽略，要真正掌握定积分的技巧是难点。结合经典例题详细介绍了数形结合法、拆项法、巧用“1”、利用被积函数奇偶性、巧用公式法、分部积分法、利用泰勒公式和综合使用各种基本积分法计算定积分，不仅能减少计算量，更能提高学生学习的积极性，引导学生主动求知。
关键词：定积分；计算方法；技巧
定积分是积分学的基本内容之一，它有着重要的应用，其计算方法和技巧有很多，吸引了很多学者研究探讨。赵香萍研究给出了定积分的几类特殊解题技巧；施露芳讨论了不变现代换、方程组以及几何意义和周期性计算定积分；文项慧慧给出了牛顿-莱布尼兹公式和数形结合的方法计算定积分；罗威提出了利用被积函数的奇偶性、周期性积分区间的对称性，定积分的几何意义计算定积分；宁荣健列举了方程式求解、利用导数、利用二重积分、利用解微分方程求解定积分等。为减少计算定积分时间，提高计算效率，下面详细介绍定积分的计算方法。
一、 利用数形结合法计算定积分
数形结合实质是根据定积分的几何意义，借助几何的直观性计算定积分更简便。
【例1】求∫101-x2dx。
解：解法一：由定积分的几何意义知，∫101-x2dx表示的是由直线x=0，x=1，曲线f（x）=1-x2和x轴围成的面积（见图1）。
图1
从图1中易知定积分∫101-x2dx等于以0为圆心，1为半径的圆的面积的14，即∫101-x2dx=14πr2=14π。
解法二：采用第二类换元积分法。
设x=sint，则dx=costdt，当x=0时，t=0；当x=1时，t=π2，∫101-x2dx=∫π20cos2tdt=12∫π20（1+cos2t）dt=12t+12sin2tπ20=π4。
对比两种方法，显然数形结合的方法计算定积分更简便。
注意：对于常见的被积函数为a2-x2时，利用数形结合的方法计算更简便。当定积分中被积函数易求面积时，考虑使用数形结合的方法计算定积分。
二、 拆项法计算定积分
当被积函数分母形式为相邻近两项的乘积或可化为相邻两项乘积时，采用拆项法。例如1x（x+k）=1k1x-1x+k；1x2（x2+k）=1k1x2-1x2+k；1x2-a2=12a1x-a-1x+a。
【例2】求∫1361x2（x2+1）dx。
解：∫1331x2（x2+1）dx=∫1331x2-1x2+1dx=∫1331x2dx-∫1331x2+1dx=-1x-arctanx133=1+3-π12。
注意：被积函数分母为相邻近两项的乘积才能拆项，拆项后为避免出错，可通分检验拆项是否正确。
三、 巧用“1”计算定积分
当被积函数为有理分式且分子分母无公因式，通过分母中加1再减1，或者先减1再加1处理后，根据分式的加减法，把分式写成同分母的分式的代数和的形式，根据定积分的性质计算即可。常见形式如：x2x2+1=x2+1-1x2+1=x2+1x2+1-1x2+1；x4x2+1=x4-1+1x2+1=x4-1x2+1-1x2+1；x2x+1=x2-1+1x+1=x2-1x+1+1x+1；x4x2-1=x4-1+1x2-1=x4-1x2-1+1x2-1；x2x-1=x2-1+1x-1=x2-1x-1+1x-1。
【例3】求∫136x4x2+1dx。
解：∫133x4x2+1dx=∫133x4-1+1x2+1dx=∫133x2-1+1x2+1dx=13x3-x+arctanx133=-23+8327+π12。
注意：巧用“1”在定積分的计算中非常重要，常用在有理分式中，通过分母加1减1，把分式化成几个分式的代数和，再进行计算。很多时候通过换元积分和分部积分之后，仍需要巧用“1”。
四、 利用被积函数的奇偶性计算定积分
当积分区间为对称区间[-a，a]时，（1）若f（x）在[-a，a]上连续且为奇函数，则∫a-af（x）dx=0；（2）若 f（x）在[-a，a]上连续且为偶函数，则∫a-af（x）dx=2∫a0f（x）dx。利用此结论可以简化某些定积分的计算。
【例4】求∫π2-π2cosxcos2xdx。
解：积分区间-π2，π2对称，且f（x）=cosxcos2x为偶函数，则∫π2-π2cosxcos2xdx=2∫π20cosxcos2xdx=2∫π20（1-2sin2x）dsinx=2sinx-23sin3xπ20=23。
【例5】求∫1-1xsin2x1+x2dx。
解：积分区间[-1，1]对称，且f（x）=xsin2x1+x2为奇函数，则∫1-1xsin2x1+x2dx=0。
注意：在利用被积函数的奇偶性计算定积分时，首先要注意积分区间是否对称，若积分区间对称，且被积函数为奇函数时，利用结论可以迅速地给出积分结果。
五、 巧用公式计算定积分
高等数学教材都附了积分表，若要求学生全部背诵难度太大，但对于常用的高中阶段没有接触的公式见要求学生熟记，掌握这些积分公式可以节省计算时间，提高计算效率。
【例6】求∫1014x2+9dx。
解：∫1014x2+9dx=∫101（2x）2+32dx=12∫101（2x）2+32d（2x），
利用公式∫1x2+a2dx=lnx+x2+a2+C得，
上式=12ln（2x+4x2+9）|10=12ln（2+13）-12ln3。
注意：常见的积分公式见一定要熟记。
六、 分部积分法计算定积分
分部积分的实质是将复杂的积分化为更简单的积分计算。分部积分公式为∫bauv′dx=[uv]ba-∫bau′vdx或∫baudv=[uv]ba-∫bavdu，运用的关键是：恰当的选择u，v′求导数简单的选为u，容易求原函数的选为v′。
【例7】求∫10xcosxdx。
解：选取u=cosx，v′=x，这里u易求导数，且v′好求原函数，根据分部积分公式有∫10xcosxdx=x22cosx-∫10x22sinxdx，不难发现上式右端的积分更复杂了，积分很难再进行下去。显然如果u，v′选择不当，利用分部积分公式后，积分会更难计算。为了方便计算，避免走弯路，对于被积函数是基本初等函数乘积的形式，u函数的选取按照“反函数、対数函数、幂函数、指数函数、三角函数”的顺序先出现的函数选为u，剩下的函数即为v′，这样可以简化积分的求解。
若令u=x，v′=cosx，有∫10xcosxdx=∫10xdsinx=xsinx-∫10x′sinxdx=（xsinx+cosx）|10=sin1+cos1-1。
注意：在利用分部积分法计算时，把被积函数看作两个乘积型的函数，按照“反对幂指三”的顺序先出现的函数选取u，剩下的为v′。
七、 利用泰勒公式计算定积分
有些初等函数的原函数不一定是初等函数，再根据N-L公式、换元积分法、分部积分这些基本的积分方法不一定能够计算出结果，如：∫10ln（1-x）dx和∫10sinxxdx被积函数都为初等函数，但基本的积分方法不容易积出，此时把被积函数用泰勒公式展开，在进行计算。
【例8】求∫10ln（1-x）dx。
解：被积函数ln（1-x）为初等函数，但基本的积分方法失效，把ln（1-x）按泰勒公式展开，ln（1-x）=-x-12x2-13x3-…，于是∫10ln（1-x）dx=∫10-x-12x2-13x3-…dx=-12x2+12·3x3+13·4x4+…10=-12+12·3+13·4+…=-1。
八、 综合利用各种积分法计算定积分
對于定积分的计算，有些方法不一定是最简的，有时需要综合利用各种积分法来计算。
【例9】求∫1121（2+x10）xdx。
解：被积函数为1（2+x10）x，利用一般的积分方法不易积分，先处理被积函数，有∫1121（2+x10）xdx=∫112x9（2+x10）x10dx，令t=x10，则dt=10x9dx，且当x=12时，t=1210；当x=1时，t=1，上式变为∫112x9（2+x10）x10dx=110∫1121（2+x10）x10dx10，被积函数分母为相邻项相乘，利用拆项法，有∫1121（2+x10）x10dx10=12∫1121x10-12+x10dx10=12[ln（x10）-ln（2+x10）]112=12[ln（x10）-ln（2+x10）]112=-12ln3+5ln2+12ln2+1210，于是∫1121（2+x10）xdx=-120ln3+12ln2+120ln2+1210。
定积分的计算方法和技巧有很多，根据定积分题型的特点，选择恰当的计算方法，减少计算量，提高计算效率。
参考文献：
[1]赵香萍.定积分的几类特殊解题技巧[J].中国水运，2007，07（1）：239-240.
[2]施露芳.定积分计算中的一些技巧[J].职业教育，2015（2）：142-143.
[3]文/项慧慧.几种求定积分的方法[J].新课程下旬，2012：108-109.
[4]罗威.定积分计算中的若干技巧[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2010，28（2）：165-167.
[5]宁荣健.定积分的计算方法和技巧[J].工科数学，1995，1（11）：199-203.
[6]李霞，贺东奇，姜伟.医用高等数学[M].北京：北京大学医学出版社，2014.
[7]同济大学数学系.高等数学第七版上册[M].北京：高等教育出版社，2014.
[8]同济大学数学系.高等数学第七版上册[M].北京：高等教育出版社，2014：205-206.
作者简介：
张旭清，贵州省贵阳市，贵州医科大学生物与工程学院数学教研室。
