摘要：本文给出了整数标准分解式的数论函数β（n，p）和它的均值∑p≤nβ（n，p）的定义，推出均值∑p≤nβ（n，p）的渐近公式公式。
关键词：数论函数；均值；渐近公式
一、 引言与主要结论
在[1]的第68个问题中，p为一个素数，给一数列k=ep（n），k为p在n的标准分解式中的指数。本文给出n的标准分解式中的数论函数β（n，p）的定义，推出并证明了均值∑p≤nβ（n，p）的渐近公式。本文中[x]表示不超过x的最大整数，a（m，p）表示m在p进制表示中数字之和。用π（x）表示不超过x所有素数的个数，并且
π（x）=xlnx+a2xln2x+…+akxlnkx+O（xlnk+1x）；
定义1设p（p≥2）为任意素数，n为给定一个正整数，如果n=a1p+a2p2+…+asps其中
1≤ai≤p-1，i=1，2，…，s，称a（n，p）为n在p进制中数字之和函数，即a（n，p）=∑si=1ai。
定义2设p（p≥2）为任意素数，n为给定一个正整数，n=pk11pk22…pktt（pi为素数），称β（n，p）为p在n的标准分解式中的指数函数，它的值为p在n的标准分解式中的指数；B（n，P）=∑p≤nβ（n，p）为函数β（n，p）的均值。
定理设p（p≥2）为任意素数，n为给定一个正整数，则
∑p≤nβ（n，p）=nlnn+lnlnn+c+c1lnn+c2ln2n+c3ln3n+…+cklnkn+O（1lnk+1n）
其中k是任意的正整数，ci（i=1，2，…）是一些可计算的常数。
二、 相关引理及定理的证明
引理1设n为任意正整数，p为素数，α（n，p）表示p在n！标准分解式中的指数，则
α（n，p）≡∑
SymboleB@ i=1npi=1p-1（n-a（n，p）），（1）
引理2在n的标准分解式中质因数p（p≥2）的指数
β（n，p）≡∑
SymboleB@ i=1npi-n-1pi=1p-1（1+a（n-1，p）-a（n，p）），（2）
引理3設n为任意正整数，p为素数，则a（n，p）≤p-1lnplnn。（3）
下面进行定理的证明
证明：因为∑p≤nβ（n，p）=∑p≤nβ（n，p）+∑n 等式右边第一部分由引理2可知 ∑p≤nβ（n，p） =∑p≤n1p-1（1+a（n-1，p）-a（n，p）） =∫n321xdπ（x）+A+O（1n）+∑p≤na（n-1，p）-a（n，p）p-1。（4） 又因为 ∫n321xdπ（x）=lnlnn+B+a31lnn+a32ln2n+…+a3klnkn+O（1lnk+1n） 由引理3得 ∑p≤na（n，p）p-1≤∑p≤nlnnlnp=lnn∑p≤n1lnp≤lnn∑p≤n1≤nlnn， 于是，∑p≤nβ（n，p）=nlnn+lnlnn+a+a31lnn+a32ln2n+…+a3klnkn+O（1lnk+1n） 所以，∑p≤nβ（n，p）=nlnn+lnlnn+c+c1lnn+c2ln2n+c3ln3n+…+cklnkn+O（1lnk+1n）。 证毕。 参考文献： [1]F.Smarandache.only problem，not solutions.Xiquan Publ.House.Chicage，1993，54—55. 作者简介： 车雨红，陕西省渭南市，渭南师范学院数理学院。
