摘 要：本文用数学的基础方法研究了二项式系数和斐波那契数高次方的一种关系，给出了两者之间恒等式，并进行了证明。
关键词：二项式系数；斐波那契数；卷积
一、 引言及主要结果
众所周知，二项式定理：如果对于任意整数n和i满足n≥i≥0，则（a+b）n=∑ni=0nian-ibi。称其中的ni是二项式系数，且ni=n！i！（n-i）！（1）
由（1）可知，ni一定是一个正整数。根据二项式定理，对于任意的复数x，得到
（1+x）n=nixi（2）
对于任意的非负整数l，令Fl是第l个斐波那契数（Fl=αl-βlα-β），Ll是第l个Lucas数（Ll=αn+βn）。对于任意给定的非负整数k，正整数m和n，定义nini=0和{Fmk+i}ni=0的卷积为f（k，m，n），其中
f（k，m，n）=n0Fmk+n1Fmk+1+…+nnFmk+n=∑ni=0niFmk+i（3）
文献[2-4]已解决m=1，m=2，m=3的卷积计算问题，得到如下结论：
f（k，1，n）=Fk+2n（4）
f（k，2，n）=5n2L2k+n，2|n5n-12F2k+n，2|n（5）
f（k，3，n）=15（2nF3k+2n-（-1）k+n3+Fk-n），k≥n，15（2nF3k+2n+3Fn-k），k 其中Fk+2n，F2k+n，F3k+2n，Fk-n分别表示第k+2n个，第3k+2n个，第2k+n和第k-n个斐波那契数，L2k+n表示第2k+n个Lucas数。以上结论启发思考：对于斐波那契数的高次方是否存在相似结论？对于任意非负整数k和已给定正整数n，记f（k，4，n）是nini=0和{F4k+i}ni=0的卷积，其中f（k，4，n）=n0F4k+n1F4k+1+…+nnF4k+n。（7） 定理 对于任意给定的非负整数k，正整数n，定义nini=0和{F4k+i}ni=0的卷积为f（k，4，n），则 f（k，4，n）=155[3nL4k+2n-4（-1）（k+i）5n+1F2k+n+6]。（8） 二、 证明 证明：对于任意给定的非负整数l，由Fl=αl-βlα-βα=1+52，β=1-52，得到 F4l=αl-βl54=125（α4l-4α3lβl+6α2lβ2l-4αlβ3l+β4l）（9） =125（α4l-4（-1）lα2l+6（-1）2l-4αlβ3l+β4l）（10） 由（3）和（10），得到 f（k，4，n）=∑ni=0niF4k+i=125∑ni=0ni（α4（k+i）-4（-1）（k+i）α2（k+i）+6（-1）2（k+i）-4（-1）（k+i）β2（k+i）+β4（k+i））（11） 由（3），可以推得 ∑ni=0niα4i=（1+α4）n，∑ni=0niβ4i=（1+β4）n（12） 所以， f（k，4，n）=125∑ni=0ni（α4k+4i-4（-1）（k+i）α2k+2i+6（-1）2k+2i-4（-1）k+iβ2k+2i+β4k+4i）） =125α4k∑ni=0niα4i-4（-1）（k+i）α2k∑ni=0niα2i+6（-1）2k+2i-4（-1）k+iβ2k∑ni=0niβ2i+β4k∑ni=0niβ4i =1553n（α4k+2n+β4k+2n）-4（-1）（k+i）5n+1α2k+n-β2k+n5+6 =155[3nL4k+2n-4（-1）（k+i）5n+1F2k+n+6]。 其中，1-α=β，1-β=α，αβ=-1，1+α4=3α2，1+β4=3β2，1+α2=5α 類似地，可以得到斐波那契数5次方或者更高次方的结论。但公式过于复杂，不再赘述。 作者简介： 车雨红，陕西省渭南市，渭南师范学院。
