摘要：在进行三角证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，使数学问题较轻松地解决。
关键词：三角形；辅助线；三线合一
在解题时按常规方法难以解决或无以下手时，就需要改变方向，在更广阔的背景下，通过对条件或结论的分析与思考，构造出与问题有关的代数或几何模型，从而找到解决问题的方法与途径。巧妙应用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种知识相互渗透与交融，使学生的视野更开阔。在进行三角证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，使数学问题较轻松地解决。
一、 构造等腰三角形
等腰三角形主要的性质：等边对等角，等角对等边，三线合一
构造等腰三角形的“四个方法”：
1. “角平分线+平行线”构造等腰三角形；
2. “角平分线+垂线”构造等腰三角形；
3. 应用“垂直平分线”构造等腰三角形；
4. 用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。
例1如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE，求证：BD=2CE。
分析：由图形知，BE既是角平分线，又是垂线，故可构造等腰三角形（延长CE交BA的延长线于点F）。由等腰三角形三线合一，知CF=2CE，故只需再证BD与CF相等（由△ADB≌△AFC可得）。
二、 构造等边三角形法
等边三角形既具有等腰三角形的性质，又具有自身的特性：三条边相等，三个内角都是60°。同时它还是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线，各边上的高线、中线、对应的角平分线互相重合。
例2如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并使AE=BD，连接CE，DE。求证：EC=ED。
分析：先以∠B为内角，BE为边构造等边三角形（延长BD至F，使BF=BE，连接EF），再依据等边三角形的性质找全等三角形（△ECB≌△EDF）求解。
三、 构造直角三角形
有以下几种情形：勾股定理及逆定理应用；角平分线性质；线段的垂直平分线；利用面积，求解时。
例3如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AC=BC，能否在AB上確定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？请说明理由。
分析：过点D作DE⊥AB于点E，由角的平分线性质可知DC=DE，由三角形全等有AE=AC=BC，又DE=BE，可得△BDE的周长=AB。
四、 构造三角形的中位线
三角形的中位线具有两方面的性质：位置上的平行关系；数量上的倍分关系。因此，当题目中给出一个三角形两边的中点时，可以直接连接中点，构造中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点等。
例4如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，若AB=10，CD=8，求MN长度的取值范围。
分析：取BD中点P，连PM，PN，由三角形三边关系可得。
五、 构造全等三角形、相似三角形
全等三角形有轴对称形、中心对称形、旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个相等角关于某一直线成轴对称就可以添加对称轴构造全等三角形。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连接或过两端点添平行线。
相似三角形有平行线型，相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1），可添加平行线得平行线型相似三角形。
人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。当然，在具体问题中还要具体分析。数学是死的，也是活的。如果它的模型掌握了，便可以不变应万变。
参考文献：
[1]荣德基主编.点拨训练.八年级数学下册.
[2]赵建勋著.中学生数学.
[3]数学学习与研究.2016.
作者简介：沈雪华，福建省漳州市，诏安一中。
