丁春年
[摘 要]在《抛物线及其标准方程》的教学中，教师应通过情境引入课题，引发学生主动建构知识;通过引导学生自主探究、合作学习，培养学生的探究意识;通过引导学生进行合情推理和类比推理，培养学生的推理能力.
[关键词]抛物线;标准方程;教学;反思
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章編号] 1674-6058（2019）05-0011-02
一、学情分析
学生来自于市级示范性高中，有一定的逻辑推理能力和运算能力.学生初中已经学过二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图像是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题，能够将抛物线与方程[y=ax2+bx+c（a≠0）]建立必然的联系.在学习本节内容前，学生已经学习了椭圆和双曲线的定义、标准方程，感受了用代数法研究几何问题的基本方法，体会了数形结合思想.通过本节课的学习，学生形成了对圆锥曲线定义的统一认识，在学习中体验数学知识不是抽象的，而是来源于现实生活.
二、教材分析
《抛物线及其标准方程》是在学习椭圆、双曲线的基础上，通过类比思想借助圆锥曲线的第二定义的统一性展开的，而它也是学习抛物线几何性质的基础.因此，本节内容起承上启下的作用.
三、教学目标
（1） 理解抛物线的定义，会应用求曲线方程的方法推导抛物线的标准方程，能归纳、类比出抛物线的四种标准方程，能由标准方程求出焦点坐标或准线方程，能由焦点坐标或准线方程求出标准方程.
（2） 通过对抛物线定义的形成过程、抛物线标准方程的建立以及归纳、类比四种形式的抛物线标准方程，培养学生的数学核心素养.
四、教学重点、难点
抛物线定义的形成及标准方程的推导.
五、教学过程
1.创设情境，引入课题
师（展示两幅图片）：请同学们观察两幅图片的轴截面，想一想它是怎样的曲线？
生众：抛物线.
师：我们熟悉的二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图像形状是什么？
生众：抛物线.
师：很好.抛物线是生活中常见的一种曲线.那么，它到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？下面我们一起来研究抛物线.我们知道，平面内点M到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e，当0 < e [<] 1时， 点M的轨迹是椭圆;当e >1时，点M的轨迹是双曲线.那么，当e =1时，点M的轨迹是什么曲线呢？
生1：可能是抛物线.
师：大胆的猜想很好.接下来，我们用几何画板验证它.如图1，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？
生2：点M随着点H运动的过程中，始终有[MF=MH]，即点M与定点F和定直线l的距离相等.
师：点M的轨迹是什么曲线呢？
生众：抛物线.
2.抽象模型，建构概念
师：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
师：类比椭圆、双曲线标准方程的推导过程，你们认为应如何建系，才能使抛物线的方程更简单？
生3：取经过点F且垂直于直线l的直线为y轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立坐标系xOy.
师：我们假设焦点F到准线l的距离为p，试推导抛物线的方程.
生4：建立如图2所示的坐标系，设点P（x，y），因为PH = PF，所以[x2+y-p22=y+p22]，化简得[x2=2py].
师：很好，这个方程与二次函数[y=ax2（a>0）]做比较，你能说出a与p的关系吗？
生众：[a=12p].
师：为什么二次函数[y=ax2（a>0）]的图像是抛物线？
生众：因为二次函数[y=ax2（a>0）]可化为抛物线的标准方程.
师：图2中的抛物线方程[x2=2py]的焦点是[F0，p2]，准线方程是[y=-p2].如果取过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立直角坐标系xOy，并且假设焦点F到准线l的距离为p，那么抛物线的方程又如何？
生众：[y2=2px（p>0）].
师：我们把方程[y2=2px（p>0）]叫作抛物线的标准方程，它所表示的抛物线的焦点是[Fp2，0]，准线方程是[x=-p2].
3. 概念应用，巩固新知
师：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
[（1）x2=y;（2）y2=2x;（3）y=2x2.]
（学生先独立思考，再小组讨论）
生5：第一小题的焦点坐标是[0，14]，准线方程是[y=-14]，第二小题的焦点坐标是[12，0]，准线方程是[x=-12]，第三小题的焦点坐标是[0，18]，准线方程是[y=-18].
师：请和大家交流一下你是如何解答第三小题的.
生5：先把方程化成[x2=12y].
师：很好！这就是说，如果给出的抛物线方程不是标准方程，求焦点坐标和准线方程，先要做什么？
生6：先把方程化为标准方程，再求焦点坐标和准线方程.
师：很好！请同学们思考如果已知抛物线的焦点坐标或准线方程，如何求抛物线的标准方程，并进行以下练习.
求符合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点是F （3，0）;（2）准线方程是[y=-14].
（学生先独立思考，再小组讨论）
生7：第一小题是[y2=12x]，第二小题是[x2=y].
4.大胆猜想，合情推理
师：刚才我们研究了两种形式的抛物线方程，还有其他形式的方程吗？若有，它的标准方程、焦点坐标、准线方程如何？
（学生分组讨论后回答）
生8：标准方程为[y2=-2px（p>0）]，焦点坐标是[F-p2，0]，准线方程是[x=p2].标准方程为[x2=-2py（p>0）]，焦点坐标是[F0，-p2]，准线方程是[y=p2].
师：请同学們对抛物线的四种标准方程进行归纳（略）.
5.课堂练习 （略）
6.课堂小结
师：本节课我们学习了抛物线的定义和标准方程，体验了归纳、类比的数学思想方法，希望同学们在今后的学习中能够运用这些数学思想方法解决问题.
六、教学反思
1.以问题情境为切入点，激发学生的探究欲望
合理的问题情境可以让学生体会数学来源于生活，数学中大量的数学模型都是以生活实例为现实原型的.本节课的引入环节中设计了两个情境：一个来源于现实生活中的图片——太阳灶与赵州桥，通过让学生观察图片，感受现实生活中的抛物线，从而引发学生对抛物线的探究热情.另一个问题情境来自于学生已有的知识，学生已经把二次函数的图像与抛物线之间建立起了必然的联系.同时学生在前面已经学习了椭圆与双曲线的定义，虽然课本中给出的是第一定义，但是课本通过习题及阅读材料给出了椭圆及双曲线的第二定义：即平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比等于常数e的点的轨迹.当0 < e < 1时， 点的轨迹是椭圆;当e >1时，点的轨迹是双曲线.此时问题自然生成，即当e =1时，点的轨迹是什么？在此环节中，第一个情境是学生的感性经验，第二个情境是学生的理性认识，两个情境层层递进，起到了承上启下的作用.
2.以学生为主体，探究知识的发生过程
数学教学是数学活动的教学，学生是学习的主体.新课程改革倡导学生进行探究式学习、合作学习.因此，在学习过程中要充分体现师生互动与生生互动.这样，新的知识才能在活动过程中自然生成.本节课中，探究抛物线的标准方程是教学的难点，在此之前，学生已经学习了椭圆及双曲线的标准方程，掌握了求曲线方程的方法，即建系、设点、列式、化简.那么如何建立适当的坐标系就成了学生探究的关键所在，在学生探究过程中，教师要引导学生在建立坐标系时，尽可能地使曲线相对于坐标轴、坐标原点有更多的对称性，尽可能地使曲线的中心、顶点位于坐标原点.在学生得出抛物线的标准方程后，再让学生类比椭圆及双曲线的标准方程，通过探究得出抛物线的其他标准方程，至此概念的建构顺利完成.这一探究过程是从学生已有的知识——椭圆及双曲线的标准方程出发，探究出抛物线的标准方程，也是让学生积极主动地参与到教学活动中，在活动过程中生成和建构概念的过程.
3.以几何画板为工具，促进数与形完美结合
建构抛物线的概念是本节课教学的难点，由于抛物线上的点是“静态”的，而曲线的方程是代数形式，它的几何形式是动点的轨迹，是“动态”的，因此，利用几何画板将“静态”的点进行追踪，让它动起来，可使抛物线的定义更加直观化、形象化，有助于学生深刻理解抛物线的定义，有助于教师化解教学难点，进而促进“数”与“形”的完美结合.
（责任编辑 黄桂坚）
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