平面向量的综合应用

顾文佳

[摘要]平面向量是历年高考的必考内容，也是数学高考交汇性命题的载体.研究平面向量的应用，应该把眼光投向整个高中数学的各个核心知识点上，只有这样才能从整体上把握住平面向量的高考方向.

[关键词]平面向量;综合应用;高中数学

[中图分类号]

G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（ 2020）23-0029-02

平面向量是历年高考数学的必考内容，但考查重点放在平面向量的综合应用上，体现出平面向量的“工具性”与其他数学知识的“交汇性”，因此，从某个角度看，研究平面向量的命题规律，其实质是研究平面向量的综合应用，那么，平面向量的综合应用一般会出现哪些问题呢？

一、平面向量与平面几何的综合

无论是平面向量的概念还是平面向量的运算都具有几何特征，因此，平面向量与平面几何的综合最为常见，也最为自然，这类问题不仅可考查对向量的几何意义理解，还可以考查学生对平面向量作为解题工具的应用，总之，这类问题既考查知识又考查能力，

点评：本题（1）给出向量等式，主要考查平面向量的加法、减法法则和模的几何意义，命题重点落在向量及其运算上.而本题（2）考查向量的应用意识以及向量数积在平面几何图形中的运用，考查坐标化思想方法的运用，命题重点放在平面向量的灵活应用上.

二、平面向量与三角函数的综合

平面向量与三角函数内容同时出现在教材必修4中，两角和的余弦公式就是利用平面向量知识加以推导的，这足以看出平面向量与三角函数有着不寻常的关系，体现在高考命题中，往往以解答题的形式出现，同时考查平面向量的运算、三角函数的性质、三角恒等变换和解三角形，综合性极强，

点评：本题以平面向量的数量积运算为背景，考查三角形中的综合问题，考查向量垂直的条件、正弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质等，三角函数、平面向量、解三角形的知识联系紧密，这类问题的平面向量只是一种“包装”，归根到底考查的是三角问题，

三、平面向量与解析几何的综合

因為平面向量具有坐标形式的特征，与解析几何“一拍即合”，解析几何问题中的有些条件，往往用向量语言来描述，利用向量的坐标运算可转化为解析几何问题，与此同时，解析几何中的某些问题也可转化为向量问题来解决，

点评：本题题干中虽然没有出现任何向量的标记，但解题过程却用到了向量夹角的计算公式，简捷有效，体现了向量法在解析几何运算中独特的魅力，从本例可以看出，向量法可以起到减少解析几何运算量的作用，因此，对于解析几何问题，向量的应用意识不容忽视，

四、平面向量与其他知识的综合

平面向量可谓数学命题的“万能胶”，它几乎可以与任何数学知识交汇，如函数、数列、概率等，这类试题往往出现在选择题或填空题中，背景新颖、综合性强，成为数学命题的一道亮丽风景，

点评：本题综合考查了由向量求夹角、数列的求和、不等式等知识，解答关键是求出tanθn的表达式，并熟练应用数列求和的技巧，本题是一类综合性极强的综合题，是一道能综合考查考生综合素养的好题，

由此可见，平面向量是数学高考交汇性命题的载体，我们研究平面向量的应用，应该把眼光投向整个高中数学的各个核心知识点上，这样才能从整体上把握住平面向量的高考方向.

[参考文献]

[1]张永成.2019年高考“平面向量”专题命题分析[Jl.中国数学教育，2019（24）：53-57.

[2]雷蕾.平面向量[J].中学数学教学参考，2019 （Z1）：98-101.

[3]张玉虎.平面向量几何运算的转化策略[J].高中数学教与学，2018（ 13）：35-37.

[4]杜海洋.解答平面向量问题的三条途径[Jl.中学数学教学参考，2016（ 16）：59-60.

（责任编辑 黄桂坚）