梁汉华
摘要：解析几何中的定点问题是探求“变中有不变的量”，是高考考试的重点与难点，该类问题知识综合性强，方法灵活，对运算能力和推理能力要求较高，往往是试卷的压轴题之一，一般以圆锥曲线为背景，解决问题过程中会运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、消元等基本思想方法。 过程中，既有探索性的历程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查学生逻辑思维能力、知识迁移能力和运算求证能力的一道亮丽的风景线，真正体现了新高考考试大纲中“重知识，更重能力”的指导思想。本文基于2020年全国I卷理科数学第20题的动直线过定点问题的思考和一题多解，通过做一题，归一类，得一法。突破动直线过定点备考的难点，提高备考效率。
关键词：动直线;过定点
中图分类号：G4 文献标识码：A
动直线恒过某一定点的问题在历年高考中频繁出现，其中全国I卷理科数学在2017、2020年均有考查。直线过定点的解题步骤可以归纳为：一选、二求、三定点.具体操作程序如下：一选：选择参变量.需要证明过定点的直线往往会随某一个量的变化而变化，可选择这个量为参变量（当动直线牵涉的量比较多时，也可以选择多个参变量）。二求：求出动直线的方程。求出只含上述参变量的动直线方程，并由其他辅助条件减少参变量的个数，最终使动直线的方程的系数中只含有一个参变量。三定点：求出定点的坐标，不妨设动直线的方程中含有变量，把直线方程写成的形式，然后解关于的方程组得到定点的坐标。解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性。
一、问题的呈现。
（2020年全国I卷理数第20题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。
（1）求E的方程;（2）证明：直线CD过定点.
二、解决问题的预备知识和方法：含一个参数的直线方程，如何确定直线恒过的定点。
举例：直线恒过定点_____.
（1）取特殊值法
给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于的两个方程，从中解出即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可。
令，解方程组得，所以过定点
（2）点斜式方程法
把含有参数的直线方程改写成的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点。
直线方程转为：，所以过定点
（3）方程思想
若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。
直线方程转化：
由于的任意性，所以得，所以过定点
（4）直线系观点
过定点的直线系表示通过两直线，交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。
直线方程转化：
求两直线交点：得，所交点
三、问题的解决。
（1）解：由椭圆方程可得：，，
， ， 椭圆方程为：
（2）方法1：先求动直线经过的两个动点坐标（同一个参数的代数式表示），然后求动直线方程（含一个参数）
解：设，则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，
解得：或
將代入直线可得：
所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为
当时，直线的方程为：
，
整理可得：
整理得：
所以直线过定点.当时，直线：，直线过点.
故直线CD过定点.
点评：若动直线与圆锥曲线有一交点（定点），可联立直线与圆锥曲线方程，消元后根据韦达定理求另一交点（动点）坐标（同一个参数的代数式表示），然后可利用两点式或斜截式求出动直线方程。
方法2：设而不求的方法即先假设动直线方程（含两个参数），根据题意消其中一个参数
解：设，，
若，设直线的方程：，直线PA的方程：
即：，直线PB方程：
所以，由于，
所以
即，
将代入得：
，
所以
所以，解得
所以直线CD方程为：，即过定点
若
所以，综上：直线过定点
点评：设而不求，就是应用韦达定理和题意，想办法建立两个参数的等式关系，用其中一个参数的代数式表示另一个参数，达到消元目的，最后把直线方程化为点斜式方程，从而得到定点
方法3：先猜定点后证明即由特殊位置关系判断出定点，然后利用向量共线或斜率相等办法证明三点共线，从而证明动直线过该定点
解：设，则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为
由对称性知：直线若过定点，该定点必在轴上，设，则
，，因为三点共线，所以
，所以
点评：如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关，这样能大大降低运算量。
方法4：直线系方程方法
如：过定点且斜率存在的两动直线方程可设：，解：连接，设，则，因为
所以，又因为，所以
记，，则
直线，可看作是过定点旋转的一族直线中两条，方程为：
由，
得
即，
表示
所以直线方程：
由于的任意性，所以且
所以，所以直线过定点
点评：动直线过定点问题，有一类与斜率作为背景的，最为常见的从圆锥曲线的顶点引出两条动直线且两动直线的斜率和或积为定值，可以采用直线系方法，对求出动直线方程十分便捷。
四、结束语
圆锥曲线中的动直线过定点问题，是高考备考的重点和难点，但是只要我们勤于思考、探究、发现，通过做一道题，归纳出一类题的解题方法，悟出其中的数学思想方法和内涵，并从学生现有的知识基础、认知规律出发，遵循教学规律，设计好教学的内容与步骤，我们就能突破难点，提高高考的备考效率，也提高了学生的数学核心素养。
参考文献
[1] 《三年高考五年模拟（新课标版）》
[2] 《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》
[3] 《高中数学解题方法与技巧（第8次修订版）》
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