林见松
摘 要：函数极限的计算是高等数学的重要组成部分，灵活掌握计算方法对学好高等数学起着极其关键的作用。有关函数极限计算的方法众多，该文通过具体例题探析了用定义法、四则运算法则、函数的连续性、分段点处左右极限讨论、两个重要极限及变形公式、无穷小量性质、等价无穷小替换、导数的定义、洛必达法则等9种常用方法计算函数极限。
关键词：函数 极限 方法
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）05（c）-0222-02
函数极限的计算是整个高等数学的重点，掌握函数极限的计算方法对于学好高等数学起着极其关键的作用。针对初学者的学习需求，结合教学实践，现将常见求解函数极限的若干方法做一探析归纳。
1 定义法求极限
用定义法求函数极限常常借助于函数的图像来分析，更有直观性。
例1：求
解：观察函数的图像（如图1），
分析该函数当自变量无限接近于1（但）时函数值的变化趋势，容易发现：当，函数的函数值无限的接近于2，即=2.
2 四则运算法则求极限
对和、差、积、商形式的函数求极限，考虑能否直接利用极限的四则运算法则来计算。特别地，对于不能直接利用四则运算法则的，往往要变形或化简（如分解因式、通分、分子或分母有理化等等）后再使用。
例2：求
解：原式==
例3：求
解：原式====1.
例4：求
解：分子分母的极限均不存在，不能直接运用法则。分子分母同处以，得。
==
一般地，当，为非负整数时，有
=
3 函数的连续性求极限
连续函数在其定义域内某点的极限值等于在该点的函数值，利用此结论可求函数极限。
例5：求.
解：因是初等函数，其定义域为，而，所以==0.
4 分段点处左右极限讨论求极限
利用，求（或判断）分段函数在分段点处的极限（存在与否）。
例6：讨论函数，当时的极限。
解：由于，
，所以当时的函数极限不存在。
5 两个重要极限及变形公式求极限
利用两个重要极限、（或）或其变形、、等进行极限计算。
例7：证明
证明：等式左边====右边.
例8：计算
解：原式===
6 无穷小量性质求极限
无穷小量性质有限个无穷小量的和（积）仍是无穷小量；有界函数与无穷小的积为无穷小量。
例9：求
解：因时，是无穷小量，而≤1，所以有=0
7 等价无穷小替换求极限
例10：求
解：因为当时，，，所以，
原式==
注意：在利用等价无穷小求极限时，一般只在以乘積或商的因子中替换。
8 利用导数的定义求极限
对具有形如或形式的极限，可利用导数的定义来求解。
例11：设存在，求
解：==
9 洛必达法则求极限
“”型、“”型两种不定式的极限求解，往往优先考虑用洛必达法则，对于其它的不定式，如“、、、 、”等，可通过适当变形，将它们转化成前两种不定式，然后再利用罗必达法则求极限。使用罗必达法则时，可以先使用一些技巧（如变量替换、等价无穷小等）将原函数化简。
例12：求
解：原式==
===。
实际上，求解函数极限的方法还有很多，如利用定积分定义、夹逼定理、级数、泰勒展开式、微分中值定理等等。解同一题目可用不同方法或多种方法联合运用。不难发现，每种方法对计算函数极限类型有较强的针对性，为此，在通过上述基本方法学习的基础上，应让学习者掌握思想方法，学会分析所给函数极限的特征，做到灵活选择解法，最终实现具有独立解决此类问题的能力。
参考文献
[1]湖南省教育科学研究院职业教育与成人教育研究所组.高等数学（工科类）[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]同济大学，天津大学等.高等数学[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.
[3]吴云飞，裴亚萍.数列极限计算的方法与技巧[J].宁波职业技术学院学报，2003，3（1）：91-92.
[4]李占光.函数极限的计算方法归纳[J].长沙民政职业技术学院，2004，11（2）：83-84.
[5]屈文文.极限的运算方法[J].山西经济管理干部学院学报，2004（3）.
