摘 要：正余弦定理是高中数学课程中必修内容之一，在高考中占有非常重要的地位，是解三角形的工具，与我们的日常实际生活也有着非常紧密的联系，沪教版高中教材第6章《三角函数》中的制作弯管就是一个利用数学知识解决日常生活的一些问题，实现弯管的设计与制作，因此提出三角函数中正余弦定理的实际应用方法研究——以制作弯管为例，通过研究三角函数以及三角函数正余弦定理在弯管制作中的应用，并延伸到日常生活的实际应用，完成本文的研究，积累从具体到抽象的相关经验，完成理论到实践的研究。
关键词：三角函数;正余弦定理;弯管制作
一、 引言
在高中數学课本中，已经开始注重理论知识与实践相结合，为日常生活中的实际应用打下基础，因此对于传统的数学教学内容更加需要注重与现实素材相结合，实现利用数学知识进行实际生活的应用。提出了三角函数中正余弦定理的实际应用方法研究——以制作弯管为例这一课题，进行正余弦定理证明及证法，利用正余弦定理的逆命题，深入了解正余弦定理，了解三角函数在高考中的地位，高效完成高中课本的教学要求;提出弯管制作所利用的函数曲线并进行函数曲线验证，实现正余弦定理在制作弯管中的应用，进一步延伸至正余弦的实际应用，完成本文的研究，帮助学生积累由具体到抽象，由理论到实践的经验，帮助他们更好地完成课本的学习，学会有逻辑的思考问题，并利用数学模型解决实际生活中的问题，提升创新意识与学习能力。
二、 正余弦定理的应用
（一） 测量距离问题
在数学课本中，三角函数中的正余弦定理用于解三角形，如知三边解三角形，知两边一角解三角形等，对于不同的已知条件来判断使用正余弦定理。对于正余弦定理这一数学模型也可在距离测量这一问题上进行研究，在实际生活中的测量距离首先需要选取合适的辅助测量点，构建出三角形，再将距离问题转化为三角形的边角关系。利用正余弦定理进行计算得到需要测量的距离，一般测量的距离都是两点之间不可通也不可达的建筑或地理位置，例如河两岸的距离，通常在河的一岸选取合适的辅助点，再选取对岸的两点，使用仪器测出对岸两点的距离以及这三个点围成的三角形的三个角的角度，利用正弦定理解出三角形，计算出两岸的距离。在实际的日常生活中，利用正余弦定理建立的数学模型在航海中应用的较为广泛。
（二） 测量高度问题
对于利用正余弦定理测量高度这一问题，大多是将测量高度问题转化为三角形的边角问题，在实际日常生活中，通常是在测量建筑物的高度或者山峰的高度时使用的较为广范，在高度测量时，需要选取辅助测量点，首先在与建筑物或者山峰的同一地平面选取辅助测量点，使用相关的仪器测量出辅助测量点到建筑物或者山峰的距离，以及辅助测量点与建筑物或山峰的最高点最低点所围成的三角形的三个内角的角度，使用正弦定理解出三角形，计算出建筑物或山峰的高度。
（三） 零部件加工制作
在斜椭圆类零件制作中多应用到三角函数知识，无论是数控车削加工，还是人工不锈钢弯管制作，都与三角函数解析、正余弦定理息息相关。在人们日常生活中不锈钢弯管较为常见，下面就弯管制作中蕴含的正余弦定理，及制作过程加以研究。
三、 弯管制作中蕴含的正余弦定理
三角函数是一种刻画客观世界具体变化规律的数学模型，常用于解决日常的一些具体问题，例如：沪教版高中教材第6章《三角函数》就将制作弯管这一日常事物收入“探究与实践”活动中。教材中以直角弯管为例，其由两个截面角度为45°的斜截圆筒拼接而成的。拼接前需计算弯管斜截口展开后曲线，诸如此类的活动可以让学生积累从具体到抽象的经验，发展几何直观和空间想象能力，学会有逻辑地思考三角函数规律，积累不同的三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性等数学模型，依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验，学会用数学模型解决实际问题，增强创新意识和科学精神。
学生参与弯管制作需要其自己动手来求截口展开曲线的函数解析式，可以通过在练习册上描截口曲线来获取弯管截面全部曲线。然后，引导学生在弯管截面曲线上建立坐标系，通过在弯管截面曲线上选取坐标点再测量的活动得到图形，之后再采用TI图形计算器进行函数拟合求出解析式等活动，深入学习三角函数有关课题，高效完成高中课本的教学要求。
（一） 正余弦定理
在三角函数中正余弦定理是用于解三角形的一种工具，通过利用正余弦定理解决了生活中遇到的一些难题，并且在数学发展的历史进程中，受天文测量、航海测量以及地理测量等方面的实践研究的影响，使得解三角形的理论也得到了发展，并解决了许多实际测量问题。通过正余弦定理证明及证法的研究，提出正余弦定理的逆命题，实现对正余弦定理的研究。
（二） 弯管制作中涉及的三角函数
正余弦定理是三角函数解析中最常用的一种方式，用于解决已知三边求解三角形，已知两边及夹角求解三角形或已知两角一边求解三角形等问题。现将三角函数中正余弦定理应用于弯管制作中，所涉及的三角函数知识点如下。如表1所示。
四、 正余弦定理在制作弯管中的应用
利用课本正余弦定理知识设计三角函数模型解决制作弯管遇到的一些问题，在弯管制作中由于弯管形状难以使用浇筑或者粘接的方式进行制作设计，又弯管的形状难以刻画等的问题。利用数学模型进行相关的设计，通过研究发现三角函数中的正余弦定理可以较好地刻画弯管的形状，对于弯管的制作提供模型基础，在弯管制作研究中，首先提出弯管制作可能利用的函数曲线，并进行相关的模型设计筛选，确定所用的函数曲线，进行函数曲线验证，制作函数模型，实现正余弦定理在弯管制作中的应用，高效地完成弯管的设计工作并完成弯管的制作，可以大大的节省时间，提高制作效率。弯管如图1所示：
（一） 提出弯管制作所利用的函数曲线
对于日常生活见到的一些弯管，很明显是由两个截面角度为45°的斜圆柱体拼接而成的，而对于拼接这一工艺来说是非常困难的，甚至是难以实现的，因此提出使用数学模型进行设计制作弯管，在此基础下，将弯管进行裁剪，斜截口展开观察其曲线特征，绘制弯管制作可能用的函数曲线，通过具体的实际操作研究发现，将弯管裁剪展开的曲线复合正弦函数、余弦函数曲线图像的特征，如图2所示。
对于不同倾斜角度的斜圆柱体的函数图像有着不同的一些特征值，在我们平时的数学学习中我们了解到余弦函数图像可以通过左右平移得到正弦函数图像，同理，正弦函数图像也可以通过一定的平移得到余弦函数图像，通常将截口曲线的解析式表示为：
在正余弦函数图像中A决定函数图像高低，ω决定函数图像的宽窄，不同的值有着不同的函数图像，制作出不同型号的弯管。
在课本中引入弯管制作这一研究，利用三角函数中的正余弦定理，极大程度地将理论知识与实践相结合，将实践知识带入课堂，提高了学生的积极性，一定程度上改善了数学教学的枯燥性、乏味性等，也将数学知识带入生活，为同学们积累了具体到抽象的经验，丰富想象力，锻炼了逻辑能力，提升学生数学抽象的核心素养能力。
（二） 三角函数曲线验证
对于解析式y=Asin（ωx+φ）+C进行验证，进行实验，首先是将截口缺陷图像描绘在图纸上，根据图像合理的建立坐标系，选取一些特殊点或者是便于测量的点进行测量并标出坐标，最终使用计算机进行函数拟合解出解析式。在进行上述过程的几组实验使用不同的A，ω，φ，圆柱体半径r，斜截面的倾斜角度θ以及C值，如表2所示。
通过多组图像对比验证①和②发现在半径相同，其他不同的情况下，得到解析式中的ω较为接近，猜想解析式是ω与斜圆柱体的半径相关，通过②和③的对比发现在θ值相同，其他值不同的情况下，得到的解析式A较为相近，猜想A通常受θ影响，即函数图像的高低通过斜截面的倾斜角度进行变化。
通过上述研究发现函数曲线的解析式验证这一环节，极大地调动了学生的积极性，通过自主探究进行解析式的验证提高了学生的动手能力，增加了学习的自主性，在这一过程中较完整的建立起数学模型，带动学生体验到利用数形结合解决一些生活中的实际问题，提高了空间想象能力以及运用空间想象能力解决问题的能力。
（三） 三角函数与弯管问题的延伸
如图1中弯管例图可以看出，在弯管制作过程中，中间有数节两端都为斜截面的管壁制作，俗称“虾米腰”。可以将其放大来思考，并将其伸展开，就能清晰直观地看出其函数形式，如图3所示。
将其伸展开后，就能发现上下两端的MM及NN都是余弦线，若同时做多个此类两端为斜截面的管壁，可在平面板上，连续画出多条余弦线，不仅节约工时，更能够节省原料。
此类问题可以让学生先在纸上绘制图样、裁剪、折叠等方式，通过动手操作，验证自己的设想，从而体会到三角函数正余弦定理在生活中的实际应用，做到活学活用，不只将数学定理知识局限于书本之中。
五、 结束语
三角函数中正余弦定理是我们高中必修课程之一，通过对三角函数中正余弦定理的研究学习熟悉了数学模型的建立，丰富了学生的想象力，本文通过正余弦定理的证明及证法研究，提出正弦定理的逆命题，完成正余弦定理的研究，使得学生熟悉了解正余弦定理，可以更好地应用，了解高中课本的教学要求，充分的实现理论知识与实践的结合，实现对三角函数的初步研究;提出弯管制作所利用的函数曲线，对函数曲线进行验证，实现正余弦定理在弯管制作中研究应用。
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作者简介：
马晓红，江苏省苏州市，江苏省苏州市田家炳实验高级中学。
