摘 要：“地球卫星”模型是高中物理教学中的难点之一。由于该模型用到的定律多，公式变形多，加之卫星运行轨道花样多，所以学生很难掌握。通过一道经典考题的模型建构，引导学生进行发散思维，“四度”并举，或许是破解这一教学难点的有效方法。
关键词：卫星;周期;变规;能量
模型与建模是科学发展的重要元素，是科学学习中不可或缺的认知与能力，也是培养学生科学思想与创新意识的重要途径。如果让学生通过建立“地球卫星”模型，将卫星运行的主要参量浓缩成“四度”结论，从数学表达中找出规律，一定会有“柳暗花明”般的彻悟。
一、 “地球卫星”模型
人造卫星受地球的万有引力作用下绕地球运行，轨道无论是圆形、椭圆形还是双曲线轨道等，都要解决好运行过程中的“供——需”关系。地球提供给卫星的万有引力F万=GMmr2，卫星运动需要的向心力F向=mv2r（或mrω2或mvω）。若F万=F向，则卫星绕地心做匀速圆周运动，可定量计算卫星运行的速度、加速度等参量;若F万≠F向，由功能关系可定性分析卫星运行的轨道变化、能量变化等参量。
二、 “地球卫星”模型中“四度”结论
卫星运行问题涉及的物理参量有很多，需要学生推导并记住“四度”结论，即卫星绕地心做匀速圆周运行的加速度、线速度、角速度以及中心天体的密度，这是快解卫星运行问题的基础。
（一） 人造卫星运行的加速度a
a=Fm;a=GMr2r=Rg=GMR2;a=V2r=rω2=Vω
（二） 人造卫星绕地球运行的线速度v
V=St;V=2πrT;V=GMrr=RVI=GMRGM=gR2VI=gR=7.9km/s;V=rω;宇宙速度V1=7.9km/s，V2=11.2km/s，V3=16.7km/s
（三） 人造卫星绕地球运行的角速度ω
ω=θt;ω=2πT;ω=GMr3r=RωI=GMR3GM=R2gωI=gR
双星绕质心的角速度：ω双星=G（m1+m2）L3（m1、m2为双星的质量，L为双星间的距离）
（四） 中心天体的密度ρ
ρ=MV;ρ=3πGT2I（TI为近地卫星运动周期）;ρ=3V2I4πR2G（VI为近地卫星运动线速度）;
ρ=3g4πRG（g为中心天体表面加速度，R为中心天体的半径）
三、 拓展一道经典考题
如图，地球半径为R，质量为M，某次发射远地圆轨道卫星时，先让卫星进入一个圆轨道Ⅰ，此轨道半径为R1，卫星在轨运行周期为T1;然后在P点变速进入椭圆转移轨道Ⅱ，在此轨道运行的卫星周期为T2;到达远地点Q时再次变速，进入远地轨道Ⅲ，此轨道半径为R3，周期为T3，轨道Ⅱ的近地点为轨道Ⅰ上的P点，远地点为轨道Ⅲ上的Q点，已知R3=2R1=4R。
拓展一（重力加速度与卫星运行的向心加速度问题）
卫星沿Ⅰ轨道过P点加速度aP1与沿Ⅱ轨道过P点加速度aPⅡ大小关系：aP1 aPⅡ g（g为地球表面的重力加速度）;卫星沿Ⅰ轨道过P点加速度aP1与沿Ⅱ轨道过Q点加速度aQⅡ大小关系：aP1 aQⅡ。（填“>”“<”或“=”）
解：由牛顿第二定律GMmr2=ma和GMmR2=mg可得aP1=aPⅡ
拓展二（卫星运行速度与宇宙速度问题）
①卫星走Ⅰ轨道过P点速度VPⅠ与走Ⅱ轨道过P点的速度VPⅡ的关系：VPⅠ VPⅡ 11.2km/s;卫星走Ⅰ轨道过P点速度VPⅠ与走Ⅱ轨道过Q点的速度VQⅡ的关系：VPⅠ VQⅡ（填“>”“<”或“=”）;由Ⅰ轨道过渡为Ⅱ轨道在P点应 速（填“加”或“减”）。
②卫星走Ⅰ轨道的速度VⅠ与沿Ⅲ轨道运行的速度VⅢ关系为：VⅢ VⅠ 7.9km/s。（填“>”“<”或“=”）
③卫星在Ⅱ轨道上运行的速度范围为 。
④卫星由Ⅲ轨道运行转移到Ⅱ轨道运行，在Q点应 速（填“加”或“减”）。
⑤如果从地球上发射的卫星绕月球后又回到地球，则发射速度应不超过km/s。
解：①卫星走Ⅰ轨道过P点满足GMmr2=mV2PⅠr，卫星走Ⅱ轨道过P点满足GMmr2mv2PⅡr′（r′为卫星轨道曲率半径），由此可得VPⅠ
②卫星走Ⅰ轨道和Ⅲ轨道均为正圆运行，因此线速度关系为：VⅢ ③卫星在Ⅱ轨道上运行在近地点若距地面高度可忽略，速度应大于7.9km/s，近地点若距地面高度为地球半径，速度应大于5.6km/s，因此卫星绕地球运行的速度范围为0 ④卫星由Ⅲ轨道运行转移到Ⅱ轨道运行，在Q点应减速。 ⑤如果从地球上发射的卫星绕月球后又回到地球，则发射速度应不超过11.2km/s。 拓展三（卫星变轨运动中的功能关系问题） ①卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行具有的机械能分别为E1、E3，则E1 E3（填“>”“<”或“=”）。 ②卫星在Ⅱ轨道上运动机械能守恒吗？ 向心力等于万有引力吗？ 卫星完全失重吗？ 。 ③卫星在Q点由Ⅲ轨道变为Ⅱ轨道，卫星的动能 ，总机械能 ，卫星从Q点到p点动能 。（填如何變化？） 解：①由引力势能公式EP=-GMmr可知卫星在轨道Ⅲ上运行具有的引力势能较大，机械能E1 ②卫星在Ⅱ轨道上运动只有万有引力做功，故机械能守恒。但在非近地点和非远地点向心力不等于万有引力。卫星处于完全失重，但重力不等于零。 ③卫星在Q点由Ⅲ轨道变为Ⅱ轨道时，卫星的动能必须减少，即总机械能减少，卫星从Q点到p点引力做正功，所以动能又不断增大。 拓展四（中心天体与环绕天体的密度问题） 如果已知卫星沿Ⅰ轨道绕地球运行的周期T1（不是近地卫星运行周期TⅠ）和轨道半径为R1，则地球的密度表达式为ρ= ;如果已知卫星沿Ⅰ轨道绕地球运行的线速度V1和轨道半径为R1，则地球的密度表达式为ρ= ;如果已知地球表面的重力加速度g和地球半径为R，则地球的密度表达式为ρ= 。 解：已知卫星沿Ⅰ轨道绕地球运行的周期T1和轨道半径为R1，则地球的密度表达式为ρ=3πR31GT21R3;已知卫星沿Ⅰ轨道绕地球运行的线速度V1和轨道半径为R1，则地球的密度表达式为ρ=3V21R14πGR3;已知地球表面的重力加速度g和地球半径为R，则地球的密度为ρ=3g4πRG。 综上所述，在正确建立“地球卫星”模型的基础上，通过对一道经典考题的多维拓展，一题多问，一题多变，“四度”并举，一题多得，基本上一网打尽了卫星运行的各类问题，培养了学生的发散思维能力和归纳总结能力，大大减轻了学生的作业负担，提高了教学效率。 参考文献： [1]邱美虹.模型与建构能力之理论架构[J].科学教育月刊，2008：2-9. [2]宁鹏程.圆周运动中的追及问题[J].数理天地（高中版），2011（2）：43-44. 作者简介： 张永富，湖北省丹江口市，湖北省丹江口市第一中学。
