黄涛 李光才 王红
摘 要：质点做简谐运动的路程的计算问题，是考试考查的热点，也是学生学习中的难点、易错点。如何正确计算质点做简谐运动的路程？笔者对此做系统的总结。
关键词：质点；简谐运动；路程
质点做简谐运动经过一段路程，必然经过一段时间，按运动时间对路程计算进行分类。设质点做简谐运动的周期为T，振幅为A，运动的时间为Δt，相应的路程为s，则：
一、 当Δt=NT2（N=1，2，3……）时，则s=2NA。
因为质点做简谐运动每经历一个周期，就完成一次全振动，路程为4倍的振幅，而质点运动半个周期，路程为完成一次全振动路程的一半的即2倍的振幅。所以，质点运动Δt=NT2（N=1，2，3……），对应路程s=2NA。
例1 周期为2 s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为（ ）
A. 15次，2 cm
B. 30次，1 cm
C. 15次，1 cm
D. 60次，2 cm
解析：每周期内二次通过平衡位置，则半分钟内通过平衡位置的次数2×302次=30次，半分钟是15个周期，每周期通过的路程为4A，则60A=60 cm，A=1 cm，B选项正确。
例2 一质点做简谐运动的图象如下图1所示，下列说法正确的是（ ）
A. 质点振动频率是4 Hz
B. 在10 s内质点经过的路程是20 cm
C. 第4 s末质点的速度是零
D. 在t=1 s和t=3 s两时刻，质点位移大小相等，方向相同
解析：由振动图象可知，质点振动的周期为4 s，頻率为0.25 Hz，故A选项错误；振幅为2 cm，每半个周期质点经过的路程为2A，10 s为5/2个周期，经过的路程为5×2A=20（cm），B选项正确。第4 s末质点在平衡位置，速度最大，故C选项错误。在t=1 s和t=3 s两时刻，质点分别在正最大位移和负最大位移处，大小相等、方向相反，故D选项错误。
二、 当Δt≠NT2（N=1.2.3……）时，则s可采用路程的定义来计算。路程的定义是质点运动轨迹的长度，据此我们可以利用位移-时间函数关系式计算质点运动的初、末位置，画出质点做简谐运动的情景图，从而确定其运动轨迹，进而算出路程。
例3 试判断下列说法正误：质点做简谐运动经历14周期，运动的路程为1倍振幅。
解析：设质点做简谐运动的周期为T，振幅为A，相对平衡位置的位移为x，路程为s。如下图2的1、2所示：当质点从平衡位置或最大位移处出发，经历14周期，运动的路程为一次全振动路程的14，即为1倍振幅。但是，质点不从这两个位置出发时，路程可能比1倍振幅大，也可能比1倍振幅小。如下图3的3所示：质点从x=22A出发，经过14T，路程为s=2A>A；如下图3的4所示，质点仍从x=22A出发，经过14T，路程为s=（2-2A）
例4 如下图4所示是弹簧振子的振动图象，请回答下列问题。
（一） 振子的振幅、周期、频率分别为多少？
（二） 根据振动图象写出该简谐运动的表达式。
（三） 当t=23s时，物体的位移是多少？物体通过的路程是多少？
解析：（1）由振动图象可知振幅A=2 cm，周期T=0.8 s，频率f=1.25 Hz。
（2） 由图象可知，振子的圆频率ω=2πT=2.5πrad/s，简谐运动的初相φ=0，则简谐运动的表达式x=Asin（ωt+φ）=2sin（2.5πt）cm。
（3） 把t=23s代入x=2sin（2.5πt），得x=-3cm。画出其运动情境图，确定运动轨迹，如下图，故s=（4+3）cm.
例5 一质点做简谐运动振动图象如下图6所示，求t=0.6 s时，质点运动的路程是多少？
解析：现根据图象，写出该质点的位移—时间函数式：x=-4sin（2.5πt+16π）cm。把t=0.6 s代入x=-4sin（2.5πt+16π）cm，得x=23。画出运动情境图，确定运动轨迹，如下图7所示，则s=（6+23）cm。
总而言之，做周期为T、振幅为A简谐运动的质点的路程可根据质点运动的时间特点进行区别性处理：当运动时间Δt=NT2（N=1，2，3……）时，则路程s=2NA；当运动时间Δt≠NT2（N=1，2，3……）时，需画出质点的运动轨迹，根据路程定义来计算。这是笔者的一点浅薄之见，希望各位读者批评指正，不吝赐教！
作者简介：
黄涛，李光才，王红，河南省信阳市，河南省息县第一高级中学。
