摘 要： 正态分布是高中数学学习中的最重要的一种分布问题，也是自然界中最常见的一种分布。许多实际问题中的变量，如人的身高、体重，产品的长度、宽度、重量等，测量误差以及射击时弹着点与靶心间的距离等都近似服从正态分布。它生活中、医学中更是有着重要的应用，并随着技术的发展正态分布越来越受到重视。
关键词： 总体密度;正态分布;钟形;应用
正态概率分布通常是广义数学中所有有关概率的最重要的一种概率分布。正态高斯分布这个概念最早是在1733年由德国的英国数学家和现代天文学moivre首次提出的，但由于德国中的数学家mogaussre首次把正态高斯分布概念应用于现代天文学家们的研究，故正态高斯分布又可以叫高斯分布。后来到1837年，海根（g.hagen）在一篇学术论文中正式明确提出了这个量子学说。其实，海伦提出的正态中心分布误差函数这种形式也具有相当大的物理局限性：他把中心误差概率设想为分成两只个数很多的、独立同正态分布的“元误差”之和，由此定理出发，按照阿狄莫佛的正态中心误差极限分布定理，立即就可以得出这个误差（近似自然地）完全服从正态下的分布。
拉普拉斯指出的这一点更具有重大的现实意义，在于他给具有误差的正态数学理论一个更自然合理、更令人信服的科学解释。拉普拉斯的哲学理论把这个已断裂的两个环连接起来，使之组合成为一个和谐的哲学整体，实际上有着极重大的哲学意义。
一、 总体分组密度分布曲线定义介绍
样本总体分组密度分布曲线的基本定义我们可以简单解释为公式如下：就是当一个样本的分组容量愈来越多，同时间的分组数量越多时，各组的密度分布变化频率就越来越高而接近于样本总体在各个分组间根据相应密度取得差值的分布概率。理想化的状态下，假设样本容量为无限大，各样本分组的参数组之间距离为无限小。但是，这种理想情况下，所需要呈现的一个频率密度直方曲线图宽度会逐渐趋近于一条光滑的频率曲线。
接下来，我们主要分析总体密度曲线的形状特征、意义以及性质。从曲线图中我们可以直接明显看出，该高度曲线的整体形状基本特征为中间高，两边低，均匀分布，成钟形分布。使用总体密度曲线主要反映的是概率问题，即一个連续型的每个随机变量在每个可以取得阈值点的范围空间中的概率分布。它的主要性质有：
1. 非负性：曲线全部位于x轴的上方。
2. 定值性：曲线与x轴围成的面积恒为1，即正态概率分布之和为1。
接下来，我们开始从概念学习正态分布。
二、 正态分布
（一）正态分布介绍
1. 正态分布
正态概率分布目前总体来看仍旧可以是目前应用最广泛的连续概率分布。我们其实可以对图做出一个标记，若图中已知的频率密度服从函数（也称频率密度曲线）为正态函数（曲线）则我们称其为已知频率曲线密度服从正态密度分布，记号值为～。其中
μ、σ2是的平均值和方差，可以把它作为两个不同于确定值的常数，是正态常数分布的一个参数，在我们应用它来解决这个问题时，不同的常数μ、σ2，不同的值都对应不同的正态常数分布。正态曲线在左右图中各点呈顺时针型方向分布，两头低，中间高，左右对称，曲线与横坐标轴间的横截面积和长度等于1。
正态分布函数为：
f（x）= 1 2π σ e- （x-μ）2 2σ2 ，x∈（-∞，+∞）
2. 标准正态分布
标准正态映射分布函数标准正态映射分布函数是一种特殊的正态映射分布，即是每当正态映射分布函数
N～（μ，σ2）及其中的函数μ=0，σ=1时，这样的正态映射分布就被称为一种标准正态映射分布。记为：N～（0，1）。标准正态密度分布的概率密度函数基本公式可以表示如下为：
f（x）= 1 2π e- x2 2 ，
x∈（-∞，+∞），（σ>0）
下面我们介绍正态分布和标准正态分布两者相同点和不同点比较：
（1）标准正态分布是正态分布的子集，所以形状一致，都是关于μ的对称形状。当曲线在μ的位置时，在最高点，然后逐渐向两侧依次下降，曲线的内部形状之可以这样描述是因为它首先向内侧下弯，再向外弯。
（2）一个正态曲线与横坐标轴曲线相交的面积一定恒为1。
（3）正态概率分布面积曲线下标准差与固定概率的分布面积并没有固定一个数量级的关系。所有正态函数分布都同样可以通过z分数分布公式转换成一个标准正态函数分布。
下面说一下不同的地方，正态密度分布指的是一元正态分布，它随每个随机变量的密度平均数、标准差的面积大小与计量单位不同而有不同的正态分布结构形态。而它的标准正态平均分布一般是正态平均分布的一种，其中的平均数和标准差都一般是固定的，平均数一般为0，标准差一般为1。
（二）正态分布的曲线特性
从正态分布曲线的特征以及与μ、σ之间的关系，我们可以得出以下几点内容。
（1）所有的正态曲线都是左右对称，呈钟形。
（2）正态分布曲线悬在横轴上方。
（3）当x=μ时，曲线是最大的。
（4）当x<0时，曲线呈上升状态，而当x>0时，曲线呈下降状态。当正无穷或者负无穷时，曲线接近于0。
（5）μ一定时，曲线整体形状由σ确定，具体是σ越大，曲线越扁平，总体分布越分散;σ越小，曲线越高耸，总体分布越集中。
（三）正态分布特征
了解了正态分布之后，都会知道μ、σ的关键性，关于正态分布可以从以下几点入手：
（1）集中性：一个正态曲线的函数高峰起点位于正曲线中央，即其平均数高峰所在的集中位置。
（2）均匀方向变动性：一个正态曲线由两个均数基点所在中心处的点开始，分别向左右两侧逐渐均匀方向下降。
（3）对称性：一条正态曲线以两个均数交点为曲线中心，左右对称，曲线两端永远不与任何横或纵轴曲线相交。
（4）正态曲线分布函数有两个基本参数，即两个均数中的μ和μ与标准差σ，可以被记作为在N～（μ，σ2）中：两个均数μ和σ可以决定一个正态曲线的每个中心节点位置;μ和标准差σ可以决定一个正态曲线的陡峭或扁平变化程度。σ越小，曲线越陡峭;σ越大，曲线越扁平。
（5）为了充分便于理论描述和实际应用，常将正态变量变换作为对数据值的转换。μ是正态趋势分布的一个位置测量参数，描述的是正态趋势分布的每个集中点在趋势中的位置。正态时间分布以x=μ为对称时间轴，左右完全互相对称。正态函数分布的值与均数、中位数、众数相同，均等于μ。
三、 应用
应用对于现代数学而言，本身就是针对性地解决我们的在现实生活中可能存在的许多问题。而正态分布同样不可能停留在数学层面，应用于生活才是数学本身的意义。
（一）学生身高
我们在统计学生身高并观察分布情况时，可以采用正态分布的方法来观察。首先需要做的步骤就是统计所有的数据并画出直方图，把身高的最大和最小的找出来并在之间分若干个组别，之后计算每一组的身高人数以及频率大小。以横坐标代表你的身高进行分组，纵坐标为频率/组合的距离，再来看图画直方曲线图，这样才好看，每个矩形面积就是频率。
之后我们就可以直接从图中看出身高的分布。从频率分布直方图中我们可以看到，综合呈现“中间高，两边低”的特点。在所有统计的男生中，超过1.85米和低于1.5米的人數都非常少，而大部分人的都分布在1.6米至1.75米之间。因此，虽然每个人的身高具有随机性，但同一年龄同一性别的人群身高分布是有规律的，整体和正态分布非常相似。
（二）医学
除了学生身高的统计外，在医学上，依旧有它的用处，医生可以应用正态分布的特点来对人体一些指标进行估计从而给出一些对策。比如利用正态分布去估计白细胞数目，一般正常情况下，白细胞正态数在正常年龄人群中近似于或服从正态数的分布。我们可以制订一个上限和下限，比如95 % 的人在正常范围之内，而超出这一范围的人，我们就认为需要对其进行特殊关注。
四、 教学思考
（一）教学定位的把握
在数学层面上讲，正态分布是高中数学教材中唯一一个对连续性随机变量分析的内容。对于连续型随机变量的重要性，相信与离散型变量相比，很容易能区分出来。从应用层面我们也能进行比较，生活中连续型变量要偏多，比如上文提到的学生身高以及医学应用都能看出正态分布的影子。所以教师应对正态分布的教学做深刻的教材分析和入微的学情分析，然后给学生呈现一个比较好的结果。
（二）数学素养的提升
怎么理解数学素养？数学素养定义为一个数学思考逻辑，就是学生在漫长的数学学习过程中学习的数学思想、数学规律。而高中已经是学生有自主思考能力的一个阶段，所以教师要充分把握高中阶段学生的心理以及应用能力，早一点普及给学生重要的、更具有现实意义的知识，让学生在学习中挖掘自己的数学能力、数学思考逻辑。
总而言之，作为教育工作者的高中教师群体，应该掌握重点的教授，无论介入的深或浅，我们都应充分挖掘数学教学素材，尤其是正态分布知识的信息价值，真正以整合达到相长的目的，让学生能够在短暂时间学习到更多知识。
五、 结论
现在的教学过程中，相当一部分数学教师对正态分布的教学没有提起重视，可能原因在于高考未把正态分布纳入主要知识点，这也是教学重点定位的失误，本文从整体介绍了正态分布的学习内容、函数公式、特征、意义以及应用在生活中的方面。重点在与学习正态分布的方法，能为学生在之后的发展以及学习奠定一定基础。因此，教师一定要充分认识到正态分布的重要性，并能以更加简洁易懂的方式为学生介绍，同时能够从整体以及未来风向把握，让学生充分学习到正态分布的好处。
参考文献：
[1]王强，韩叶飞.正态分布N（μ，σ2）的标准方差的两个渐近正态估计[J].淮阴师范学院学报（自然科学版），2005（4）：29-31.
[2]吴焕云.正态分布及其在教学研究中的应用[J].湖北教育学院学报，1995（4）：33-36.
作者简介： 马宏酉，福建省漳州市，厦门双十中学漳州校区。
