王小檐 肖振华
摘要：最值问题的探究是高中数学教学的重要组成部分，也是各类竞赛命题的重点考查对象。本文以高中数学最值例题为切入点，首先探讨二元最值问题的一般解法，然后给出另一种新颖解法“参数法”来解决二元最值的这一类问题，并归纳总结此类问题的通法，为二元最值问题的解答开辟了新的思路，在某种程度上也提高了学生解题能力。
关键词：最值问题;高中数学;通法研究;参数法
一、 典题呈现
【例1】（2013年浙江大学自主招生试题）若x2+2xy-y2=7（x，y∈R），求x2+y2的最小值。
分析：此种题型是高中数学最值问题探究的一道经典题型，随着新高考改革的趋势，近些年最值问题是高考数学命题的热点问题，也是数学竞赛命题的重要组成部分，本题的已知条件是满足一个二元二次方程，目的是要求x2+y2的最小值，此题的一般解法也非常多，切入点很容易把握，本文以这道题为例探究其一般解决方法，并重点研究“参数法”解决此类问题。
二、 一般解法
评注：判别式法在最值问题的处理上属于常规解法，这种解法的关键是换元之后再变形，使得所求式子x2+y2成为二次项、一次项系数和常数项，然后再利用判别式Δ≥0求出范围即可。
评注：均值不等式在最值问题的求解中是很常见的，使用范围比较广，此种解法的关键是涉法凑成2xy和x2+y2这两种形式，因为有均值不等式x2+y2≥2xy（当x=y时，取“=”）做保证就很容易求出其最小值。
评注：使用三角代换法解题的关键是很好地利用三角函数的有界性构造不等式，这里通常结合辅助角公式进行考查，学生需熟练掌握辅助角公式。
评注：此方法实质上是双换元法，接着将式子进行配方，配成完全平方项之后利用平方项是非负数，就可以求出最终的结果。
评注：“参数法”是最值问题中不常见的解法，此种解法的关键是引入参数λ，再将式子整理之后利用判别式Δ=0，解出λ的值，带入化成完全平方项即可求出最值，这种解法是本文重点讲解的一种求解二元最值问题的方法，后文将详细阐述。
三、 通法研究
问题：已知实数x，y满足Ax2+Bxy+Cy2=D（D≠0），求M=ax2+bxy+cy2的最值（取值范围）。
解法（分三步）：
首先，引入参数λ（λ≠0），使M=ax2+bxy+cy2+λ（Ax2+Bxy+Cy2-D）
整理得到（a+λA）x2+（b+λB）xy+（c+λC）y2-λD，
即M=（a+λA）x2+（b+λB）xy+（c+λC）y2-λD（1）
然后，令Δ=（b+λB）2-4（a+λA）（c+λC）=0，解出λ的值，
最后，解出的λ再代入（1）式得M=α（βx+γy）2-λD。
分析：參数法解二元最值问题首先引入参数λ，λ的值实质上可以取任何实数，在这里的令Δ=0，目的是为了使M能成功化成完全平方项，且对应的方程有且只有一个根，才使得λ取特殊值，使得解题更为简单化。
四、 “参数法”解高考题
【例2】（2007·上海理，5）若x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值是_。
【例3】（2010·山东文，14）已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为_。
【例4】（2011·浙江理，16）设x，y为实数，若4x2+xy+y2=1，则2x+y的最大值是_。
五、 结论
通过收集大量此种类型的例题，使用“参数法”进行求解，在一定程度上会减少高考数学考试中学生因无法定位使用何种方法解题时所耗费的时间，只要满足“参数法”的前提条件即可进行作答，从而提高了学生的解题速度，也保证了准确率。在平常解题中可以尝试“参数法”解题，作为教师也应该对问题进行多维度的审视，深入挖掘问题的内涵和外延，透视问题的本质，找到解决问题的一般方法。与此同时，教师应进行一题多解、一题多变、一题多用、多题一解的训练，特别是对题目的背景、条件、结论等进行改编、拓展、延伸，以达到“做一题，通一类”的效果，“参数法”为二元最值问题开辟了新的思路，也提高了学生思维发展能力。
参考文献：
[1]张杨文.高考数学你真的掌握了吗？数学五章[M].北京：清华大学出版社，2014：67-68.
[2]范花妹，秦庆雄.对一道自主招生考试题的探究——兼谈处理一类二元最值问题的通法[J].数学通讯，2015：110-114.
作者简介：
王小檐，肖振华，江西省赣州市，赣南师范大学。
