摘 要：时代的发展要求数学教师在教学中落实学生数学核心素养的培养，而习题讲解是教学中的一个重要环节。文章从求解阴影图形面积的习题入手，通过一题多解，引导学生深度思考，变式拓展，不仅可以加深学生对阴影部分图形面积解法的理解和掌握，而且还有助于培养学生主动探究能力，从而达到提升数学学科的核心素养的效果。
关键词：核心素养;阴影图形面积;一题多解
当前，数学核心素养已成为数学教育界的热门话题，史宁中教授说过：“数学学习的最终目标，是让学习者学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。”我们能够通过数学教育把学生培养成为什么样的人，使学生具备哪些数学能力，这一直是我们一线教师要始终思考和落实的重要问题。每一位学生如何在数学课堂中获得良好的数学教育，得到不同程度的发展，是我们每一位数学教师应该去深入探索研究的问题。因此，学生的数学核心素养的培养关键在于如何落实到平时的课堂教学中。
而数学的课后习题也是数学教学内容中一个重要的部分，所以教师同样需要注重在习题课中落实数学核心素养的培养。习题课不是单纯机械简单的习题讲评，它应该是一堂经过教师精心选材，合理设计，能够引导学生进行深度思考，从而发展学生的数学思维，培养数学核心素养的课。文章尝试结合一道课后求阴影图形面积的习题的教学片段，来谈谈如何在一题多解教学中培养学生的数学核心素养。阴影图形面积的求解方法灵活多样，并且可能有多种不同的解法，通过一题多解，不仅可以加深学生对阴影部分图形面积知识的理解和掌握，而且还有助于提升数学学科的核心素养。
一、 问题展示
习题来自新人教版九年级上册第115页第4题。
题目：如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。
二、 教学分析
本题是《弧长和扇形面积》的配套习题。本题涉及正方形、圆以及三角形的面积等相关知识。解决这类题的关键是利用和差法将阴影部分的面积转化为基本图形的面积，要求学生具有较强的识图能力和灵活变通的思维方式。而本题求解过程中所涉及的思想方法包含化归、转化、整体、数形结合、方程以及类比思想。
为了让学生更好地解决问题，笔者在课堂中设置了铺垫练习。
（环节一）铺垫练习：
题目1. 如图，以AB为直径画半圆，点C是弧AB的中点，求图中阴影部分的面积。2. 已知正方形ABCD的边长为a，以它的一组对边为直径向正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。3. 正方形AOBP的边长为a，分别以点O、P为圆心，a为半径向正方形内画弧，求图中阴影部分的面积。
阴影部分的面积表达式S阴影= S阴影= S阴影=
分析：以上三个图形，第一个图形是一个半圆内部有一个三角形，第二个图形是一个正方形内部有两个半圆，第三个图形是一个正方形内部有两个四分之一圆，且有重叠。求解第三个图形面积的教学过程中，让学生通过画图体会阴影部分形成的过程。
设计意图：本环节三个题目遵循立足原题的原则，不仅让学生复习阴影图形面积的求法，还本着由浅入深、渗透方法、开启思路的原则，使学生能够从不同角度观察、发现阴影部分与熟悉图形之间的关系，为解决原题做铺垫。心理研究的结果表明，由浅入深的顺序更符合学生的认知发展规律。
有了铺垫练习的引导，再让学生来解决课本这道题。
（环节二）解决原题：
原题：如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。（为方便叙述将原题阴影部分的每一片称为“叶形”）
这个环节采取先给学生充分独立思考的时间，教师可根据学生的情况给予适当引导，再让学生分小组讨论的方式来完成小结和反思，以便形成解题经验。教师此时的角色转化为倾听者，将课堂放手给学生，让学生去观察，思考，发现问题，在讨论中学习，激发学生对数学学习的兴趣。此处让学生从不同角度观察阴影部分的构成。学生可能会想到先求出两处空白部分的面积，再用正方形面积与空白部分面积求差，进而求阴影部分的面积。于是得到第一种解法。
解法1：先求出两处空白部分面积，再用正方形面积减去空白面积的两倍。
S两个空白=S正方形-2S半圆=a2-πa22=a2-πa24
S阴影=S正方形-2S两个空白=a2-2a2-πa24=πa22-a2
解法1中学生把注意力放在了两个半圆上，紧接着笔者引导学生能否只利用其中一个半圆，找出它与叶形面积的关系。目的是让他们把本题与铺垫练习第1题联系起来，想到将半圆分割成三角形和弓形，于是又有了第二种解法。
解法2：连接AO、BO，根据对称性可知，一个“叶形”的面积=半圆面积-等腰三角形AOB的面积。
∴S阴影=4×（S半圆-S△AOB）=4×12πa22-12a·12a=4×πa28-14a2=πa22-a2
前两种解法都是从静态的角度来看阴影部分，我们也可以从动态的角度观察。不妨让学生通过画图来体会阴影部分的形成过程。有了这个体验过程和铺垫练习3的启发，学生得到了如下解法。
解法3：因为阴影部分是四个半圆的重叠部分，所以：
S阴影=4×S半圆-S正方形=4×12πa22-a2=πa22-a2
在解決此类问题时，我们还可以考虑用代数的方法来解决几何问题。为此，可以引导学生引进未知数，建立方程，用方程的思想解决几何图形求面积问题。
解法4：观察发现该图由若干个相同面积的部分组成，不妨设一个叶形面积为x，一块空白部分的面积为y，则有
4x+4y=a22x+y=12πa22
解得x=πa28-a24y=a22-πa28
∴S阴影=4x=4×πa28-a24=πa22-a2
学生通过从多个不同角度观察、思考问题，有利于学生全面运用所学知识解决数学问题，提高学生知识迁移能力，发展学生的发散思维，提升学生的数学核心素养。同一问题多种解法还可以满足不同层次的学生的发展需求，教师可以关注到不同水平的学生。有些学生能用一种方法解决问题，有些数学思维能力更强的学生不仅满足会解，还能思考出多种方法，从而寻找到最优解决方式，通过一题多解来激发学生的学习热情。但是我们在课堂中仍要合适地掌握一定的度，我们的目的不是让学生具体掌握了多少种不同的解法，而是希望在学生探索多种解法的过程中培养发散思维能力，从而提升学生的数学核心素养。
三、 渗透思想，总结方法
多种解法的训练能够提升学生灵活运用数学知识解决问题的能力，而教学过程中教师应该引导学生及时总结和反思，引导他们经历知识归纳总结的过程，使学生在知识的形成过程中，领悟数学思想，提升数学思维能力。
（环节三）原题反思
（1）解法1通过先求出余下面积的方法来得到阴影部分的面积，体现了转化和整体的思想;
（2）解法2将叶形面积转化为弓形面积来求，渗透了化归的思想方法;
（3）解法3从运动角度、利用整体思想使解法更加简洁明快;
（4）解法4采用了數形结合的研究方法，体现了代数与几何的内在联系与统一。
小结：原题的各种解法的共同点是先通过把图形进行拆分、弄清阴影部分的构成，再将其转化为基本图形面积的和差来求解。这充分体现了新问题要转化为熟悉问题的解题方法，体会转化的数学思想。在解题的过程中能够培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力，提升数学核心素养。
四、 变式训练，提升能力
（环节四）延伸与升华
为了让学生巩固上述方法，笔者设计把原题的四个半圆往正方形外部画，同时在内部加了一个圆，得到了一个新的题目：
变式训练：如图，已知边长a的正方形ABCD内接于⊙O，分别以正方形的各边为直径向正方形外作半圆，求四个半圆与⊙O的四条弧围成的四个新月形的面积。
分析：有了原题的启发，学生感受到可以从静态或动态、整体或局部、几何角度或代数方向看待阴影部分的形成。在本环节采取学生分小组讨论解决问题，并以小组为单位汇报成果的方式完成。
学生通过充分讨论容易得到以下解法：
思路一：四个半圆与正方形无缝隙、无重叠组成了该图形，所以阴影部分的面积等于它们的和减去里面的圆。
解法1：S阴影=S四个半圆+S正方形ABCD-S圆O=a2
而类比原题解法1和解法2的思路，也能得到以下解法：
思路二：先通过求出一个弓形面积进而求出一个新月形面积，从而得到阴影部分的面积。
解法2：S弓形=S扇形OAB-S△OAB=πa28-a24
S新月形=S半圆-S弓形=a24
S阴影=4S新月形=a2
设计意图：
（1）进一步体会将复杂图形转化成基本图形的和差求解，这也是求阴影部分面积常见方法，体现数学的转化思想;
（2）通过精选练习，引导学生学会从不同角度思考和分析问题;
（3）通过开展小组合作学习的方式培养学生合作交流意识，最后每组由一位学生主讲汇报成果，可以充分锻炼学生表达能力，培养学生逻辑思维能力，从而提升学生的数学核心素养能力。
本节课通过设置几个基本图形面积的求法作为铺垫，由浅入深，层层递进，引出典型例题，引导学生从多个不同的角度进行观察、分析，从而归纳总结出多种解法。再通过设计变式训练巩固此类问题的解题方法。学生在一题多解的过程当中学会灵活运用不同的数学思想方法来解决问题，从而提升数学思维能力，增强思维品质。
数学思维能力是数学核心素养的重要组成部分，提升学生的数学思维能力是数学教学的核心任务。通过一题多解的教学设计，及适度的拓展与引申，让学生在交流、分析、讨论中学习，从而激发学生对数学学习的兴趣，培养学生观察、思考和归纳的能力。从多角度、多途径等方面寻求解决问题的思路与方法，开拓解题思路，提升数学核心素养。
参考文献：
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作者简介：
何欢欢，广西壮族自治区南宁市，南宁市第十四中学。
