摘 要：教育的最根本原则是遵循学生的心理及认知发展规律，这样学生的学和教师的教会更有效。文章以皮亚杰阶段发展理论和维果茨基的最近发展区理论为基础，以期能够在深度学习理念下，贴合新课标，遵循学生感知和思维的特点，统整教材，创造性地设计教学，帮助学生完成小学阶段数系的最后一个数——“分数”的扩充。在学生自主概括分数概念的基础上，深刻理解分数的意义，为后面分数的继续学习夯实基础。
关键词：认知发展;数学概念;分数意义
小学三年级属于皮亚杰的具体运算思维阶段，儿童的思维逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，但仍带有很大的具体性。学生概括水平的发展处于概括事物的直观的、具体形象的外部特征或属性的直观形象水平阶段。笔者执教小学数学《分一分（一）》时，循序渐进引导学生充分经历“把一些物体看成一个整体平均分，其中的一份用几分之一来表示”这个分数意义概念的形成过程，帮助学生完成分数认识的重要过渡，最终用语言精准概括分数的概念，以此更好理解分数的意义，为将来进一步全面学习分数打好基础。
一、 直观操作，初识分数特征
通过各版本教材对比，各教材在编排上由简单到复杂，由具体到抽象，逐步递进的方式帮助完善认识，即先认识分数的“份数的含义”，在教学时，学生最不容易理解为什么小数也可以表示不完整的数，还要出现分数呢？课堂中非常有必要让学生经历分数产生的过程和必要性。相比整数、小数，分数在学生的日常生活中出现得较少，没有生活基础。在教学时，笔者结合三年级学生的认知发展特点，利用绘本故事导入，在生活情境中通过直观模型及教具来激发学生学习兴趣和探究欲望，促进学生从“不平均分”到“平均分”;从“完整的量”到“不完整量”不同表达形式;从“实际发展水平”走向“潜在发展水平”，逐步体会分数知识的产生、形成与发展的过程，从而促使学生的认知从已知自然而然地走向未知领域。
师：（出示绘本图片故事）小胖和小鹏是好朋友，今天小鹏来家里做客，小胖妈妈做了他们最爱吃的蛋糕，妈妈分别拿出了4块蛋糕和2块蛋糕，1块蛋糕，如果你是小胖，会怎么分呢？我们今天就来分一分。
○○○○ 4块蛋糕
○○ 2块蛋糕
○ 1块蛋糕
生1：小胖会吃得比较多。共七块，小胖吃4块，小鹏吃3块。
生2：好朋友要懂得分享，公平分：4块蛋糕他们就每人两块，2块蛋糕每人分一块。1块蛋糕就每人分半块。
师：但半块怎么分呢？请同学们每人拿出蛋糕图片折一折。
生：对折，先对折，平均分为两半，小胖和小鹏各一半。
师：真是爱动脑筋的好孩子。能用语言完整表述一下这一块分的过程吗？
学生在教师的引导下总结：先将一块蛋糕对折分两半，小胖和小鹏各吃了其中的一半。
师：能用你喜欢的方式表示“半块”吗？请开动脑筋在我们的导学单的第1题空白处写一写。
（展示学生作品：画图→小数→分数，学生表达自己的想法，选出代表，鼓励学生在讲台上说明自己的想法。）
如：
师：其实同学们这么多种表达方式都在说明平均分、分两半、吃了一半这三个意思。但到底用什么数，能够简洁明了地表示分的过程和吃了多少呢？（学生思考片刻后，指向12）数学上，我们用这样的数12表示：把这一块蛋糕平均分后，2半中的一半。（板书：把一块蛋糕平均分成2半，其中的一半就是12）。
随着学生年齡的增长，小学生从笼统、不精确地感知事物的整体渐渐发展到能够比较精确地感知事物部分与部分、部分与整体的一些关系，并能发现事物的主要特征以及事物各部分间的相互关系。基于以上思考，笔者从直观模型及生活情境入手，让学生在获得多方面的感性认识的基础上，启发引导学生凭借形象思维来发展初步的逻辑思维。让学生体会分数作为一个“不整的数”存在，从“整个的量”到“非整的量”的一种表达形式。学生在生活中“半个”与“一半”的已有体验，在激活已知经验的基础上，通过动手探究，增加对平均分的理解，让分数建立在平均分的基础上。依着学生的认知发展方向，引导学生深度思考“不完整的数”的数学表达形式，让分数特征逐步明了，也为后面学生能够用语言正确表达分数的意义概念做好铺垫。
二、 抽象概括，建立分数模型
依据皮亚杰的认知发展理论，小学生此时的认知活动还需要具体内容的支持，而从感性材料中抽象概括数学概念，需要教师给学生充足的时间和空间，借助学习素材，帮助学生完成。这里的学习素材从圆形到其他形状，从食物到其他物体，步步深入;在循序渐进中，逐步抽象出事物的本质属性，使学生理清分数的意义，建立起分数模型。
师：12就是这节课我们要认识的新数——分数。你能说说2和1分别表示什么意思吗？
生：2表示一块蛋糕平均分了2份，1是吃了其中的1份。
师：除了分蛋糕以外，还能分什么？（生：披萨、月饼、饼干……）说说里面有没有12？表示什么意思？
师：回想一下，分数是怎么来的？
生：分出来的。
师：只有分吗？平均分之后还要数出一半。先分再数的数。（拉开：分→数），就是我们要学习的分数。
师：我们可以分披萨、蛋糕、月饼、饼干等，还可以分图片。分数表示的概念，同学们看一看有什么要修改的吗？要不要严谨一些？
生：把蛋糕换成东西。
师：这样就严谨很多，东西包括了很多，但是我们还可以用一个专业名词——物品，表示很多东西。把一个物品平均分成2半，每一半就是二分之一。
师：将蛋糕平均分给三个人、四个人呢？每个人吃到多少呢？
生：那就平均分成三块，每人13块，平均分成四块，每人分14块。
生：那不能把纸片、图片包括进去呀。可以分成几部分，每一部分就是几分之一。
师：很有想法，分成几个部分，我们可以用一个字“份”表示。这时我们的分数概念？
生：可以把它改为：把一个物品平均分成几份，每一份就是几分之一。
总结：把一个物品平均分成几份，每份是它的几分之一。
分数的学习看似简单，但事实上它是小学阶段学生最难掌握、最抽象的教学内容之一。本环节设计就从圆形事物过渡到其他形状的物品，让学生发散思维，扩充认知，同时还原了分数在人类生产生活中逐步产生的过程，引发学生“火热的思考”，经历数的“再创造”。后面更是通过不同人数分蛋糕，不同分数联系类比，让学生对于分数的认知逐步深入，既加深了对知识的理解，又发展了学生的思维，让学生在过程中尝试用自己的语言概括和表述，还特别对一些准确性难以把握字词进行科学的推敲，咀嚼体会数学语言的内涵，使分数概念的表述更加恰当、合理。
三、 多元深化，内化分数认知
分数的意义有其丰富特点，作为一个复杂的概念，小学生真正理解分数的意义是非常困难的，所以，本节课笔者在熟悉教材的编排体系之后，对分数意义做了系统梳理分析和整体认知，根据以往教学本节课的经验及学生在练习过程中出现的问题，以学生学习的困难点为起点，理解教材例题之间的本质联系，系统设计了本环节，在学生真正理解分数的意义概念，建立了分数模型后，完全放手，让学生在多种图形、多样分数的基础上，进行认知重组，在发展过程中内化知识，以期帮助学生在实践中把握“分数的意义”的内涵实质，帮助他们建立一个融会贯通的数学认知结构。课堂中给予学生充足的时间，经历深度探索，深入思考，深研学习，完善对分数的认知，让学生明白不同形状可以用相同分数表示，相同形状可以用不同分数表示。
师：除了以上这些分数，还有其他分数吗？在脑海中想一个分数，利用手中的纸片（圆形、三角形、平行四边形、六边形、梯形、椭圆）折一折、涂一涂、写一写，和同桌说一说自己是怎么创造出这个分数的？试试看。（学生完成后，黑板上展示粘贴，请一位同学先将相同的分数分类，不是分数的拿走，并询问：为什么？加深学生对分数概念的理解。）
学生作品如下：
1. 相同图案，不同分数
2. 不同图案，相同分数
师：为什么相同的图案，可以用不同的分数表示呢？（教师搭建云梯，以期让学生更好理解部分与整体的关系，为后面相等分数、分数的性质、约分的学习做好铺垫。）
师：为什么形状、大小不同，却都能用同一个分数表示呢？虽然都表示34但涂色大小不同？所以我们还要说清楚是谁的34，才能更加明白。（加深对分数意义概念的理解，提炼出分数表示的具体意义：把一个物体平均分成几份，涂了其中的几份，就用几分之几表示。）
师：（随便指一个分数）你是怎么创造这个分数的？表示什么意思？
像12、13、24、…这样的数，就称为分数。
师：那我们以上创造的分数表示的意义，是不是……？
生：还要再次修改一下，把一个物品平均分成几份，涂几份就是它的几分之几。
师：能否将我们的思考结论总结一下？
生：把一个物品平均分成几份，数了几份就是它的几分之几。
师：把分数就是先分后数的数，运用了分数的特征总结。我们这里的数如果用一个动词“取”，大家觉得怎么样？对，是取东西的取。
生：这个取比数更形象，因为我们是分完物品，取就更加说明是我们拿走的那部分。
师生总结：把一个物品平均分成几份，取了几份就是它的几分之几。
本环节逐步完善分数的意义概念，让学生经历过程，在过程中引导学生借助表象，从具体形象思维逐步过渡到抽象思维，通过比较，适时进行抽象概括，以促进学生由动作形象思维向抽象逻辑思维过渡。这样在异中求同，同中求异，发展学生逻辑思维、提升总结能力，随着学习和探究越深入，學生对分数意义的认知更为多元。
四、 应用深化，完善分数建构
基于以上认知的发展，本环节练习从学生的知识基础和心理特点出发，着眼于学生对所学分数内容的整体认知和理解，做到循序渐进，螺旋上升;促进学生的知识建构和方法迁移，促进学生高阶思维发展和应用能力的提升，让学生在解决问题的过程中提高核心素养。
师：下面的图形中有分数吗？如果有，请在图形下的括号里写出分数。如果没有，请在图形的括号中打“×”。
学生可以通过教师提供的教具折一折，比一比，拼一拼、画一画的方法完成。再请学生上台拿出图片折一折，看一看，引导学生动手操作、动脑思考，逆向思维，由部分找整体，加深对分数概念和意义的理解。
师：同学们也可以挑战一下自己，下课后将不平均的图形变成平均分，并用分数表示。
让学生判断是否为平均分，强化转化的思想。由简到难，但又在学生的最近发展区，通过教具给学生搭梯，经历分数认识，由显性的平均分到隐性的平均分，让学生明白有些图形有时不是平均分，但如果画出整个分配的轮廓，就又是平均分。最后让学生由不平均分改成平均分，让分数真正建构在脑海中，并拓展至生活，让学生体会分数和整数、小数一样熟悉，就在我们的身边。
笔者在本节课教学中，在唤醒学生数学经验的基础上，依着学生认知发展特点，让学生在思维发展和动手操作中丰富自己的分数表象、精准表述分数意义，让学生在变化练习中形成完备的分数知识结构，并内化为学生的新知识和能力，进而促进学生数学核心素养的提升。
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作者简介：
王爱花，广东省深圳市，深圳松岗第二小学。
