摘 要：文章首先陈述了高考“解三角形”考试大纲的要求和考查的知识点，然后分析了学生学习过程中存在的问题，最后对典型例题进行了思路解析，以期提升学生解题能力。
关键词：解三角形;考试大纲;问题;典型例题
数学《必修5》第一章是“解三角形”，它是高中数学的基础，也是近年高考的必考題型。解三角形主要是应用正、余弦定理对任意三角形的边角关系、周长、面积等数学量化的研究。这不仅与平面几何、三角恒等变换等知识密切相关，而且有较强的实用性和丰富的实际背景。下面具体通过实例重点说明几类热点题型，并对其题型解题方法进行总结、拓展和优化。
一、 考试大纲要求
（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二、 高考对解三角形的考查
考查利用正余弦定理、主要三角公式、基本不等式等知识，通过化简和方程思想等，经过运算、推理、度量边、角或周长、面积和其他伴随要素。解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题，即方程问题。故解三角形问题的核心是方程思想。
说明：（1）“主要三角公式”是指两角和与差的三角公式，也包括二倍角公式、同角三角公式和诱导公式。（2）“方程”是指正、余弦定理、三角形内角和定理以及面积、周长等所内蕴的方程。
主要考查题型：
类型1 三角形完全可解，研究边、角、面积或周长;
类型2 三角形局部可解，研究边、角的范围、面积或周长的最值;
类型3 解三角形应用问题。
三、 学生学习过程中存在的问题
（1）利用正、余弦定理解已知三角形的两边及其一边的角解三角形问题时，不会判断一解、两解或无解问题，三角形形状和解的对应关系如表1所示。
表1 三角形形状和解的对应关系
A为锐角A为钝角
图形
关系a 解的个数无解一解两解一解一解无解 （2）三角形形状判断问题。利用已知条件中的边角关系判断三角形形状时，对边化角还是角化边的选择存在困惑。 说明：（a）要牢记正、余弦定理及其变形形式，通过正、余弦定理及其变形形式实施转化，具体转化关系式如以下公式所示： b2=a2+c2-2accosB cosB=a2+c2-b22ac asinA=bsinB=csinC=2R a=2RsinA sinA=a2R （b）通过三角变换寻求角之间的关系; （c）通过三角函数符号及正、余弦函数有界性进行判断或讨论。 四、 典型例题分析 热点题型一：三角形完全可解，研究边、角、面积和周长问题 【例1】 （2016年全国一卷）△ABC三角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c。 （1）求C; （2）若c=7，△ABC的面积为332，求三角形的周长。 分析： （1）思路1：边角转化，边化角。（利用正弦定理的变形形式a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，和差公式及内角和定理等恒等变形） ∵2cosC（acosB+bcosA）=c， ∴2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， ∴2cosCsin（A+B）=sinC。 又∵sin（A+B）=sinC≠0， ∴cosC=12。 ∵C∈（0，π），∴C=π3。 思路2：充分利用教材《必修5》P18练习结论：c=acosB+bcosA，b=acosC+ccosA，a=ccosB+bcosC。 ∵2cosC（acosB+bcosA）=c， ∴2ccosC=c，∴cosC=12。 ∵C∈（0，π），∴C=π3。 说明：1. 在三角形中，C∈（0，π）谁都知道，但在解答题时，一定要说明，否则答题不完整，会扣1至2分; 2. 利用教材中的一些结论可快速解决有些问题，特别是选择填空题，能起到事半功倍的效果。 （2）思路1：方程思想，先面积公式后余弦定理 由S△=12absinC=332得：ab=6，cosC=a2+b2-c22ab=12， 所以a2+b2=13，结果显然。 思路2：方程思想，先余弦定理后面积公式 ∵cosC=a2+b2-c22ab=12，∴a2+b2=7+ab。 由S△=12absinC=332得，ab=6。 另外，我们也可以对例1的问题（2）进行改编，如： 变式1：若c=7，求a+b的范围; 变式2：若c=7，求△ABC的面积最大值; 变式3：（太原2016模拟）△ABC三角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3a=2csinA。 （1）求C; （2）若c=7，△ABC的面积为332，求三角形的周长。 回过头我们再看看利用教材《必修5》P18练习结论“妙杀”高考题。 1. （2013年陕西7）△ABC三角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形 C. 钝角三角形D. 不确定 2. （2014广东12）△ABC三角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则ab= 。 热点题型二：三角形局部可解，研究边、角范围、面积或周长的最值问题 【例2】 （2013年全国二卷17）△ABC三角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bcosC+csinB=a。 （1）求B; （2）若b=2，求△ABC的面积的最大值。 解析： （1）思路1：边角转化，边化角。（利用正弦定理的变形形式a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，和差公式及内角和定理等恒等变形） ∵bcosC+csinB=a， ∴sinBcosC+sinCsinB=sinA， ∴sinBcosC+sinCsinB=sin（B+C）， 化简得sinCsinB=sinCcosB。 又∵C∈（0，π），∴sinC≠0，sinB=cosB，∴B=π4。 思路2：充分利用a=ccosB+bcosC， bcosC+csinB=a=ccosB+bcosC， 化简得sinB=cosB。 结果显然。 （2）由（1）知B=π4，S△=12acsinB=24ac。 要求三角形最大面积，只需求ac的最大值，考虑余弦定理 b2=a2+c2-2accosB，代入化简得4=a2+c2-2ac。 又a2+c2≥2ac，4≥2ac-2ac（以下略）。 【例3】 △ABC三角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知acosB+bcosA=3，三角形外接圆的面积为π，则△ABC的面积的最大值为 。 分析：此题为填空题，按常规方法要用余弦定理，运算量较大，如果利用教材《必修5》P18练习结论，则大大减少运算量。 由已知得c=3。 又外接圆面积为π，所以其半径为1，由c=2RsinC得 sinC=32，进而cosC=±12。 ∵S△=12absinC=34ab， 所以又轉化成求ab的最大值问题，考虑余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，代入化简得3=a2+b2±ab。 由不等式定理得3≥2ab±ab， 显然cosC=12时，ab最大，即ab≤3， 所以△ABC的最大面积是334。 题型总结与提升： 例2和例3的本质特征是都是已知三角形一边及其所对的角，求周长和面积最大值问题。那么，有没有更快更一般化的方法呢？联想到三角形外接圆、圆周角定理及正弦定理等，我们可总结优化为如下方法： 题目：△ABC三角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a，A，求△ABC的面积的最大值和周长的取值范围。 分析：a，A，由2R=asinA得，圆的半径为定值，如图S△=12BC×h（其中h为三角形BC边的高）。 由图得，当高h与BC边垂直平分线重合时， 三角形面积最大，此时， S△=a24tanA2。 同时，AB=AC=a2sinA2， 所以周长最大值为a+asinA2，而A与B或C重合时最小为2a， 故周长范围为2a，a+asinA2。 当然，如果是解答题，用常规方法更规范些，但可判断运算的准确性，如果是选择填空题，此法就非常简捷。 参考文献： [1]陶冶，陈新.一题多变看三角形的“心”随式变[J].中学数学月刊，2008（3）. [2]张永燊.求与三角形有关角的大小的方法归纳[J].中学生数理化（七年级数学）（华师大版），2009（Z1）. [3]张德芹.通过一题看解三角形常用策略[J].考试（高考数学版），2011（Z4）. [4]侯国兴.《三角形》中的一题多解[J].语数外学习（初中版七年级），2009（4）. [5]王恩宾，王磊.数学思想在解三角形问题中的运用[J].理科考试研究，2015（1）. [6]杨建新.探索三角形全等条件的教学设计[J].初中数学教与学，2010（5）. [7]陈德前.三角形解题中的数学思想方法[J].初中生天地，2018（26）. [8]杨忠平.运用数学思想方法解三角形新题型[J].数理化解题研究（初中版），2014（8）. [9]黄丽曼.一节解三角形习题课的意外惊喜——学生思维的发散与一题多解[J].数学教学通讯，2012（24）. [10]杨新列，邬云德.基于“过程”哲学观的“认识三角形（1）”教学探索及反思[J].中学数学，2013（4）. [11]郑惠敏.三角函数高考热点评析[J].商，2015（52）. [12]张科，吴志鹏.对一道经典的三角函数高考试题的多视角探究[J].理科考试研究，2019（19）. [13]逄淑莲.高考中三角函数性质的考查方法[J].高中数理化，2012（Z1）. [14]林德宽.sinα+cosα sinαcosα sinα-cosα之间的联系[J].中学生数理化（高中版），2003（3）. 作者简介： 耿祥瑞，甘肃省庆阳市，环县第一中学。
