摘 要：例题教学是课堂教学的重要环节，通过例题的学习使学生更加深刻理解本课堂的教学内容，提高学生对知识的应用能力。如果在教学设计中对例题进行变式教学，最大地发挥例题的有效性，提高它在课堂教学中的价值，是提高课堂效率十分有效的方式之一。
关键词：例题;例题变式;课堂教学
“在教学实践中，要不断探索和创新教学方式，不仅重视如何教，更要重视如何学，促使更多的学生热爱数学。”这是高中数学新课程标准提出的具体建议。站在不同的角度、情境和层次上，对教材中的数学概念、数学公式和数学定理等知识，做出相应的变化，改变具体的条件和形式，这就是数学变式训练。虽然形式发生了变化，而本质特征却不变。经过不同形式的训练，学生对数学知识的理解和掌控也会变得更加深入，因此变式教学对于深度学习知识不失为一种有效的教学方法。
圆锥曲线是高考的重点考查内容，它主要利用基本概念、标准方程及其几何性质，解决相关问题。从高考的命题方式看，选择题、填空题和解答题均有涉及。笔者在圆锥曲线的复习教学过程中，通常在例题设计环节采用了变式教学，这样不仅使知识间的联系更加明晰，形成知识网络，还能使原有的例题再发生机，达到事半功倍的效果。
一、 通过例题变式，加强对概念的教学
在相关联的平行概念中通过例题变式加深对概念的理解与掌握。例如，椭圆与双曲线的定义有一定的类似，可以同时复习;由于概念的类似，导致它们标准方程就比较容易混淆。复习中教师可以展开变式，让学生在比较中对概念及其标准方程有更清晰的理解与掌握。
【例1】 根据下列条件判断方程x29-k+y24-k=1表示什么曲线。
（1）k<4;（2）4 解析：（1）当k<4时，9-k>0，4-k>0。根据椭圆的标准方程，方程x29-k+y24-k=1表示的是椭圆。（2）当4 為了能更好地引导学生对两种曲线标准方程特点的理解与掌握，教师可以进行如下变式： 变式1 已知方程x29-k+y2k-4=1表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围; 变式2 已知方程x29-k+y2k-4=1表示焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围; 变式3 已知方程x29-k+y2k-4=1表示焦点在坐标轴上的双曲线，求k的取值范围。 通过以上的变式设计，对在相同的表达形式，k取不同的值，得到的曲线不同。可以引起学生对椭圆、双曲线概念及其标准方程的区别与联系的深入思考。通过比较得出规律，使对概念的理解更为深刻。 例题的变式可以在有类似知识背景的章节间展开，使学生更加明确知识间的区别与联系，使关联的章节形成知识网络，也能启发学生主动地归纳总结知识点，有助于梳理知识体系，有效地加深了知识的理解与掌握，避免知识混淆，基础扎实，为日后解决更难的问题提供了可能。 二、 围绕几个重要性质进行变式，加强对本章重点知识的掌握 在圆锥曲线的教学中，双曲线是十分重要的一种，在双曲线的几何性质中渐近线与离心率是研究的重点。渐近线是揭示表达式中a，b的数学关系，离心率是揭示表达式中a，c的数学关系，它们在解题中离不开对a2+b2=c2这个关系式的运用。 【例2】 椭圆x249+y224=1与双曲线共焦点，且双曲线的渐近线为y=±43x，求双曲线方程。 解析：由椭圆x249+y224=1与双曲线共焦点，得双曲线的半焦距c=5。设双曲线方程为x2a2-y2b2=1，则ba=±43a2+b2=25，解得a2=9b2=16，故所求双曲线方程为x29-y216=1。 本题条件给出双曲线的渐近线方程，可以明确a与b的比值和关系式a2+b2=c2，求对应的双曲线方程;因此教师可以围绕着a，b，c，离心率e，渐近线斜率k，进行有目的的变式练习。 变式1 已知焦点在x轴上双曲线的离心率为2，求双曲线C的渐近线方程。 变式2 已知双曲线E：x2a2-y2b2=1，其一渐近线被圆C：（x-1）2+（y-3）2=9所截得的弦长等于4，求E的离心率。 通过这组变式训练，学生对双曲线的离心率、渐近线方程和标准方程等概念公式的理解更加明晰，并能对三个概念的互相转化求解更加游刃有余。 课本里提供的例题基本是十分典型的，教师除了使用它，还可以通过变式，让学生通过不同程度，不同角度来感知这种题型所承载的数学知识。题目的变式研究有利于题目的推陈出新，提高教学的创新性。近年来随着教改的不断深化，创新性使用教材，培养学生的思维品质，灵活应对新高考，是教师努力研究的方向。 三、 适当改变题设条件，对题目进行梯度变式，加强思维品质的提高 学生的知识结构和能力水平均存在差异，教师可以对题目难度进行有梯度的设置，这样有利于不同程度的学生都有收获。因题目的本质相同，学生在层层递进中，逐步提高审题与分析问题的能力，同时也能抓住问题的本质，提高解决相同问题的能力。 【例3】 设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，求x0的取值范围。（选自2014年高考全国卷） 解析：由图可知点M所在直线y=1与圆O相切，又ON=1，由正弦定理得ONsin∠OMN=OMsin∠ONM，所以122=OMsin∠ONM，即OM=2sin∠ONM。因为0≤∠ONM≤π，所以OM≤2，即x20+1≤2，解得-1≤x0≤1。 变式1 设点M（x0，y0）为直线2x+y=1上的动点，若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，求x0的取值范围。 变式2 设点M（x0，y0）为直线y=k（x+3）上的动点，若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，求x0的取值范围。 这样教师通过适当改变题目条件，题目条件从具体到抽象，从易到难，让学生可以通过比较分析题目的本质特性，总结出解这类问题的通性通法，达到解一类问题的目的。 思维训练应当是变式训练开展的基础，尝试站在不同的角度和情境上，来帮助学生提升自身的应变能力，让学生能够尝试探索多样化解决问题的方法，激发学生的思维灵活性，让学生的学习更加深入。例题变式将一堂课的时间与效益最大化，为创造出有活力的高效课堂提供了一种模板，很好地进行了减负与增效。 四、 把题型改为开放式与探索性题型，开发学生的发散性思维和培养探索精神 数学课程标准指出习题是教材的重要组成部分，要提高习题的有效性，科学准确地把握习题的容量、难度，开发一些具有探索型、开放性的问题，解决这样的问题有助于学生数学学科核心素养的提升。 【例4】 求适合下列条件的双曲线的标准方程：两焦点坐标（0，5），（0，-5），且a=4。（选自课本46页练习1） 解析：本题通过已知条件可知a，c，通过双曲线a，b，c的关系式求出b，再根据双曲线的焦点坐标，判断出双曲线的类型，从而本题得解。 变式1 请写出有一个焦点是（2，0）的圆锥曲线的标准方程。 分析：通过变式，此题变式为一道开放题，答案曲线是椭圆，双曲线，抛物线均可。拓展了学生的思路，发展了开放性的思维，达到能在同一平台比较三种曲线，既能了解三种曲线的共性又能区分它们的差异性，达到很好的教学目的。 变式2 已知两点A（-2，0），B（2，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是-14。 （1）求动点P的轨迹E的方程; （2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M，N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个;若不存在，请说明理由。 分析：变式2的探索型题型难度较大，对学生灵活运用知识的能力和思考问题的能力都有较高的要求。适合思维层次，能力层次较高的学生学习与研究，提高学生的数学素养。 开放式题型和探索式题型，能有效地反映高层次思维，教师可以把探究的任务交给了学生，有助于培养学生对数学学习的积极态度，能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神。 五、 例题变式要注意的几个问题 一是教师需要站在学生实际情况的基础上，结合问题的本质特征，进行合理的变式，而不是毫无目的的变式。也就是说，例题变式必须要考虑到学生的实际情况，题目的难度要和學生的知识储备与能力相匹配，能让学生训练后有所收获。 二是教师需要不断进行试题研究，要有对例题进行变式的能力。教师必须要借助教研来实现个人的专业成长，在课堂上也必须要重视例题教学的开展，如何高效地发挥习题的作用是数学教师经常要思考的问题。只有不断地研究教材，研究试题，研究学生，才有可能不断提高我们的教学水平，更好地为学生服务。 三是教师需要及时进行反思与总结，如果想了解变式教学是否被学生认可，需深入学生中进行了解，问学生的体会与感受。也可以从学生的作业和考试的情况了解教师的教学效果，题目的设置是否达到教学目的。 参考文献： [1]柳海峰.强化数学变式训练，优化课堂教学设计——分层教学中培养B班学生能力的策略之一[C]∥国家教师科研基金“十一五”成果集（中国名校卷）（五），2009. [2]曹树坤.重视例题教学 提高教学能力[J].数理化解题研究，2020（23）. 作者简介： 陈林芳，福建省宁德市，宁德第五中学。
