摘 要：数形结合为一种常用的数学解题方法，即将抽象性的数学知识转换成简单易懂的图形，从而帮助学生理解。实践来看，将数形结合应用到小学高年级数学教学中，引导学生采取数形结合的方式解决数学问题，可帮助学生摆脱固化思维，提升学生数学学科的核心素养。
关键词：数形结合;小学数学;高年级
一、 引言
新课标中将数学思想培养定义为小学阶段数学教育的基本目标，作为普遍应用的数学思想方法，数形结合思想的优势较为突出。但反观实际教学，尽管小学教材中已融入了相关内容，但学生的学习成效并未得到显著提升，这与教师不合理的教学方式有关。基于此，文章以数形结合为研究对象，首先概述了数形结合的内涵，然后针对如何将数形结合思想应用到小学高年级数学教学中这一问题进行探究，并分析了数形结合方法的应用策略，以有效强化学生的思维能力。
二、 数形结合内涵
“数量关系”“空间形式”是数学研究的主要方向，各类数学问题的研究多围绕“数”与“形”展开，二者常常共同出现在数学问题中。
（一）数形结合思想
何为数形结合思想？简单意义上而言指的是将数量关系与图形特征二者相结合，进而研究数学问题。精确化是数量的特征，而直观化则是图形的特征，基于二者融合的视角分析问题是一种解决问题的新方向。
（二）数形结合方法
方法，即为我们为实现某一目的而设置或运用的手段。在数学学科中，为解决实际问题而应用的手段、方案、思路等均可归纳为方法。何为数形结合方法？简单来说指的是人们通过数的精确化与形的直观化的思考分析，而总结出来的可使问题简单化的策略、手段。
三、 数形结合思想在小学高年级数学中的渗透
（一）渗透原则
在小学高年级数学教学中，无论是何种思想的渗透，均需以教育为最终目的，满足教育的一般原则，立足义务教育阶段的人才培养目标，综合考虑到数学的学科规律及学生的个性化学习需求。
1. 等价性
等价性原则较为容易理解，“形”与“数”是等价的两个主体，上文中已提到，精确化是数量的特征，而直观化则是图形的特征。等价，即二者应当是能够互相转化的量。图形一般附带抽象性的特征，描述起来较为困难，且不同的学生基于同一题目的理解有所差异，所以不同学生就图形的心理认知也有所不同，由此便会出现解题漏洞。倘若可有效利用代数计算把“形”“数”二者结合起来，便可解决这一问题。
2. 双向性
“形”“数”二者各有各的优势，也各有各的不足，数量运算能够帮助学生基于已有的图形认识获得结果，这个结果往往比单一性的几何构图更加准确，可在一定程度上规避几何构图的粗略。但从另一角度而言，直观具体是图形的优势，这使得数与形的结合更加合理。这就要求教师在小学高年级数学教学中，善于站在多个视角，贯彻双向性原则。
（二）渗透途径
1. 立足数学教材，探寻潜在的数形结合思想
引导学生发现问题，培养学生解决问题的能力是教师的主要职责，对此，小学数学教师应整合身边可利用的教学资源，挖掘教材背后的数形结合思想。
小学高年级学生处于形象思维的发展时期，对数的认知多是以形作为基础的，如何帮助学生构建自身的知识体系，从而使之感悟到数学思想之魅力是本阶段数学教育的重点。具体而言，在教学与分数、因数相关的课程内容时，教师便可引入形象化的“面积模型”，并鼓励学生由已知的“形”探寻分数的定义，然后再展开抽象化的概念讲解。
2. 创设教学情境，培养学生的数形结合意识
无数的实践探究证实，兴趣是驱使学生学习的巨大动力，因而高效的数学课程构建必然离不开趣味性元素。小学高年级的数学课程内容多取材于我们的日常生活，因此，教师也可通过创设生活化情境，从而逐步培养学生的数形结合意识。以“掷一掷”课程教学为例，教师便可考虑以“阿凡提智斗巴依老爷”作为开场小故事，增强学生的求知欲。也可引入我们日常生活中较为常见的图形，鼓励学生在图形中探寻知识，然后将之代入数学知识点之中，帮助学生利用“数形结合”的思想解决实际问题。
3. 提供探索机会，帮助学生正确认识“数形结合”的优势
数学知识的掌握与运用讲究循序渐进，强调的是由慢到快、由浅至深的过程。也就是说培养学生“数形结合”的思想是一个长期的过程，在这一过程中，教师应当留给学生充足的时间去自我探究、自我反思。学生通过重复性的尝试能够不断地反思自身的行为方式、打破已有的思维定式，正确的认识“数形结合”的优势，从而形成新的知识体系，最终能够自主梳理解题思路。
四、 数形结合在小学高年级数学中的应用
（一）以图形的直观，帮助学生理解抽象的数量关系
1. 引入基本图形，感知“数”的内涵
站在学生角度进行分析，学生思维发展存在过渡期，即抽象思维建立在形象思维基础上，而相较于前者而言，后者的发展速度较快。考虑到数学科目的特殊性，小学阶段的数学题目往往涉及了较多的“数量关系”，加大学习难度，学生很容易出现混淆。对此，教师可在引入“数形结合”的基础上，将题目中的已知条件转化为更为直观的数学符号，帮助学生明确數、形间的关系，促使其深入了解实际问题，使学生形象思维与抽象思维能够协调发展。
人教版小学五年级数学教材中涉及了“长方体和正方体的体积”知识，如何帮助学生建立起“体积单位”与实物的认知关系为本章节的教学难点。在教学实践中我们可以发现，大部分学生对“体积概念公式”可牢记于心，却在实物判断中犯了难，这主要原因便在于学生基于“体积单位”与实物关系的认知模糊。对此，教师可基于“数形结合”，在引入实物案例或趣味故事的过程中（如乌鸦喝水），帮助学生建立起关于体积的表象，然后，用比较法与学生一同整合出体积的概念，在这一过程中，教师需充分发挥自身的引导作用，帮助学生由具体实物上升至数学抽象概念，从而为其之后的学习打下基础;待学生已掌握基本概念的情况下，需帮助其建立1cm3，1dm3，1m3的认知。为实现这一教学目标需要明确两点：其一，定义体积单位;其二，使学生具备大小的数量观念，在这一过程中，应充分利用现有的教学资源，通过教具演示或其他较为真实的物体，以文字阐述、观察分析等手段，引导学生建立起清晰表象，进而把握本章节重点内容。
2. 借助线段图，直观理解抽象复杂问题
“解方程”为小学高年级数学中的重点内容，探析解方程实质时我们可以发现，其和列方程解决数学应用问题存在诸多共通之处，因而在实际的教学中教师常常将二者相结合教学，尽管说这一教学模式有助于学生由数学抽象上升为数学应用，但也存在难点集中的问题，加大了教学难度。对此，我们可将熟练掌握解方程的方法视作是列方程解决应用问题的基础条件，人教版小学数学教材中将未知数x及其相关知识点安排在高年级课本中。对于学生而言，未知数的求解是一个全新的知识点，为便于学生的高质量学习，教师可通过直观化的实物、几何图形，运用“数形结合”方式，使学生的理解更加清晰透彻，帮助其以精确的视角看待数学问题。
无论何时，兴趣都是学习者最有力的驱动力，小学阶段的学生往往具有较高的好奇心，且求知欲较强，乐于主动探寻。所以，在讲解“解方程”时，教师便可通过引用直观化的天平组织课程教学。比如：首先，为学生设置相关题目（一个密闭的盒子中有x个球，桌子上有3个球，盒子上的数与桌子上共有9个球）;然后，提出问题，即：x=？;接下来，引导学生思考其中的数量关系，即：x+3=9，那么教师可先板书线段图，构建等式，并将等式两边视作天平，若想使天平保持平衡，应到如何去做。由此，便可以初步得出结论：将天平视作等式，等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等;最后，验证这一结论的正确性，师生共同参与到“天平”的实践之中，教师需注重发挥自身的引导作用，帮助学生正确认知等式成立，即天平平衡的相关条件。
3. 设计“面积模型”，理解算理及算法
计算类型的知识点是小学高年级数学教材中的主要内容，若想使学生牢固地掌握，并经过运用此方面知识，教师应以引导为主，帮助其正确的认知相关算理及算法。新课标中指出：应用符合学生年龄段及简洁易懂的数形结合思想方法，将“模糊”的数量信息，通过简单具体的图形加以表示，就可以使问题简单化，从而帮助学生透彻化分析实际问题，使之掌握正确的解题思路。
以“真分数和假分数”单元教学为例，本单元的教学目的为强化学生基于分数的认知。在之前的课程中，学生已学习了“分数的意义”“分数与除法”等内容。考虑到概念教学本身的抽象特性较为突出，难以用口头语言进行教学，那么便可应用数形结合的教学方式。在实际的教学中，教师多着重强调直观图形、直线上点的相应联系，以数字“1”为界限，让学生判定真假分数，但采取这一教学模式，学生也可能产生认知偏差。对此，教师可首先让学生回顾分数的意义等相关内容，然后引入“面积模型”，通过“画阴影”来表示分数，通过数形结合的教学方式使学生的认知更加深入。
（二）将代数知识引入几何问题，化繁为简
1. 利用数的特点，渗透模型思想
模型在数学应用题的解答中较为常见，何为数学模型？简单意义上而言指的是以某一研究目的为基础，通过形式化的数学语言去抽象概括表征，其中涉及了问题的特征、数量关系等，是一种应用价值较高的数学结构。比如，表达式、方程、函数等等均属于数学模型，本质在于表征数学问题。以“长方体与之正方体的体积”章节教学为例，考虑到在之前的课程中学生已就体积及其单位有了知识基础，他们可借助数单位体积的方块进而计算得出长方体的体积，但此种方式较为烦琐。为使学生的理解更加透彻，得出长方体体积公式v=abh的推导过程，应创新教学方式。
具体而言，首先让学生自由选择边长为1cm的正方体，并让其将它们码放成长方体的形态，通过计算正方体的数量求算后者的体积，但这一过程的计算并非建立在公式的基础上，而是依据学习者基于体积概念的客观理解;然后，让学生多做实践，并由其中探寻规律，很快学生便会发现：长方体体积=正方体个数，但学生并不知道a、b、h与正方体间的关系，此时便需要教师的恰当引导，鼓勵学生自主发现问题，让他们去主动探究这些数量关系，从而建立起模型概念。
除此之外，教师在应用此种方法时，也需要注重学生信息辨别能力的提升，即帮助学生选择有价值的信息，这是因为模型的构建本身就需要一定的实践积累，只有如此，才可确保学习的有效性。
2. 利用公式定理，把握图形结构关系
综合而言，小学数学教材中所涉及的几何知识多为基础性的，学生基于此方面内容的学习一般以实物为基准，也就是说仅限于表象。为提升学生的空间观念，便于其知识的灵活运用，教师应当帮助学生构建自身的空间知识体系，即引导其整合归纳相关的几何知识，从而形成相应的知识体系，为其日后的学习打下基础。比如，在讲解完“平行四边形”“梯形”的面积后，教师便需要引导
学生就二者的关系建立起清晰的认知。首先，教师可利用相关的教学器具，让学生以割补法实现梯形的拼凑，使其在大脑中不断思考出梯形到平行四边形的变换过程，了解其中的变换条件，帮助学生将自身所学知识点串联起来进行应用。总的来说，通过合理运用图形、公式间的相互联系，引发学生的深层次思考，对于其之后的学习十分有利，也可以在潜移默化中提升其本身的空间观念。
（三）“数形互助”的应用
1. 梳理“数”与“形”的内在联系，构造图像
“鸡兔同笼”是人教版小学数学五年级的教学内容，是一类典型的数量问题，面对此类问题，学生往往处于一种模糊的认知状态下，不知如何进行思考。而应当如何传授学生恰当的解题方法及思路呢？对此，教师便可应用“数形结合”的方式。
那么，我们设置一个“鸡兔同笼”问题：已知一片草地上只有鸡、兔两种生物，小明数了数，共计有35个头、94条脚，求鸡、兔的数量。考虑到五年级的学生认知存在局限，且基于未知数的掌握尚不充分，因而，在讲解此类“数”的问题时，可引入“形”的概念界定，以简单的图形来表示数量关系。首先，以“○”来表示鸡、兔的头，用“/”表示鸡、兔的腿，鸡、兔分别有2、4条腿，各有1颗头为已知条件;然后画出“35”个头，即35“○”，此时，教师可引导学生反向思考，即如果草地上只有“鸡”一种生物，便会有35×2=70条腿，在每一个“○”上面画出两个“/”，总计70个“/”，但已知条件是94条，多出94-70=24条腿，把这24个“/”两个为一组补在“○”上面，那么有4条腿，即一个“○”上有4个“/”的就是兔子的数量，数一数有12个，那么就有（94-70）÷2=12，用以表示兔子的数量，随即可求得鸡的数量了。
通过一个例子，我们可以发现：其中解题的步骤与画图是一致的，体现的是“数形互译”理念，就小学五年级的学生群体而言，基于形象思维再建立抽象思维会更加的容易，对问题的把握也会较为透彻。
2. 多多画图，以“形”的改变体会“数”的魅力
折线统计图是小学阶段的重要教学内容，也是“数形结合”的最直接体现，这一知识点的教学是建立在“条形统计图”基础上的，所以，课堂开始，教师可先进行相关知识点的回顾，让学生通过“数”的大小变化来感知“图形”的高低不一，并开始本知识点的教学。
具体而言，“折线统计图”的教学可直接以教师讲解的形式展开，但需要注意必须侧重于“折线图统计图”优势的强调。将之与以往学生的条形统计图进行对此，设置相关实验，使学生切身的感知到其优势，即：数据的值与实际变化可一同展示。在学生认知其优势的基础上，鼓励学生解决实际的应用问题，帮助其更好地理解“数—形—数”的思维发展过程。
五、 结语
综上所述，数学的本质在于培养并不断强化学生的逻辑思维能力，“数量关系”“空间形式”是数学研究的主要方向，各类数学问题的研究多围绕“数”与“形”展开，数形结合作为一种常用的教学思想方法，符合小学生群体的认知发展规律，具有一定的实践价值。
参考文献：
[1]张银静.数形结合思想在小学数学教学中的问题研究[D].山西大学，2020.
[2]赵海亮.主题图在小学高段数学教学中的运用研究[D].西南大学，2020.
[3]马玉花.基于数形结合思想的小学“数与代数”教学策略研究[D].西南大学，2020.
作者简介：吴德良，福建省厦门市，厦门市思明区观音山音乐学校。
