鲁从湄
摘要：本文从一次公开课引发作者思考，通过归纳初中数学课本上的4个题目，找出它们的的共同点是出现了平行线、角平分线、等腰三角形的其中两个求证另一个。这三个神奇组合一旦相遇就会碰撞出火花，它是好多中考题目的突破口。
关键词：讲题;归纳;总结;平行线;角平分线;等腰三角形;“知二得一”;相遇;中考
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2020）-50-374
1背景
2018年10月12日，我有幸在我校上了一堂13.3.1等腰三角形（2）等腰三角形的判定的公开课。题目：把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分△EBD是一个等腰三角形吗？为什么？
2019年3月，学校对该年级学生做了次大调整，把学生全部打散重新分配，新班级有我原班学生也有其他班级学生，在接下来的学习中，见到此类题其他班级来的学生好多都做不来，而我原班学生能够快速突破口。我找来他们八年级上册课本P79的第2个练习题，发现课本上都有详细的解答过程，但没有平行线+角平分线→等腰三角形。原因就是教师讲了题，但没有总结，它们只会一个题，而不是一类题。
2四次相遇
2.1第一遇
平行线和角平分线的第一次相遇是在七年级下册第五章相交线与平行线中出现。角平分线的定义是平分该角，得到角度的等量关系，而平行线的性质里通过平行能得到角度的等量关系，通过等量代换，我们可以获得许多角度的等量关系。它的基本解题思路就是将相等的角度都找出来之后进行等量代换，并且在进行角度的等量代换中就会为解题提供更多的“隐藏条件”。
“这一遇”的意义在于求角度，可以解决许多求角度的题目，在中考中多以选择、填空题形式出现。
2.2第二遇
平行线和角平分线的第二次相遇是在八年级上册第十三章等腰三角形的判定，课本P79的第2个练习题。依据第一遇由角平分线的定义和平行线的性质得到角度的等量关系，通过等量代换，利用等腰三角形的判定“等角对等边”可以得到等腰三角形。它的基本思路是平行线+角平分线→等腰三角形这一个公式。
“这一遇”的意义在于从角度的等量关系可以得到边的等量关系。
2.3第三遇
平行线和角平分线的第三次相遇是在八年级下册第十八章平行四边形中的菱形的判定，课本P60习题18.2的第6题。平行四边形本身自带许多性质，涉及到边、角、对角线，依据第二遇平行线+角平分线→等腰三角形，利用等腰三角形中边的等量关系得到菱形邻边相等这一特性，从而证得菱形。它的基本思路是两次应用平行线+角平分线→等腰三角形在同一题中，得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再由一组邻边相等推出菱形。
“这一遇”的意义在于从简单的几何图形到相对复杂的四边形，这也是中考的重要题型。
2.4第四遇
平行线和角平分线的第四次相遇是在九年级上册第二十四章圆中的切线性质及判定，课本P102习题24.2的第12题。依据第二遇平行线+角平分线→等腰三角形这一结论，通过变形已知得到结论，平行线+等腰三角形→角平分线。平行线、角平分线和等腰三角形任意给定两个条件能推出剩下一个。在圆里面蕴含半径相等就相当给定等腰，切线性质想到垂直从而给定平行，最后推出角平分线。它的基本思路是平行线+等腰三角形→角平分线，和前面的相遇不同，它的已知条件换为平行线和等腰三角形同样可以推出角平分线的结论。
“这一遇”的意义在于平行线、角平分线和等腰三角形这三者只要在同一个图中出现两者就能推出第三者。
3“知二得一”及应用
3.1平行线、角平分线、等腰三角形转化的基本图形
见到平行线、角平分线、等腰三角形三个中的任意两个都要想到第三个，也就是“知二得一”，共有下列三种组合。
組合一：由AD∥BC得∠2=∠3，BD平分∠ABC得∠1=∠2，得∠1=∠3得AB=AD;
组合二：由AD∥BC得∠2=∠3，由等腰得AB=AD得
∠1=∠3，得∠1=∠2得BD平分∠ABC;
组合三：由BD平分∠ABC得∠1=∠2，由等腰得AB=AD得∠1=∠3，得∠2=∠3得AD∥BC。
3.2中考题重现
（1）第一遇的应用：利用等量代换求角度。
由平行线、角平分线、等腰三角形得到角度相等，利用等量代换求出未知角的度数。该种题型多出现在选择填空题中。
（2）第二遇的应用：根据角度等量关系得到线段等量关系。
根据角度等量关系得到线段等量关系，此时除了需要进行角度数量关系的讨论，对于线段的数量关系也要进行讨论，进一步地可以对三角形的周长或面积进行计算。该种题型多出现在选择填空题中。
（2）综合应用。
近年来，把平行线、角平分线和等腰三角形这一特殊组合的基本图形放在圆中、四边形中考察的中考试题经常出现，教师复习应该一定要注意这一高频考点。
1、（2015？云南？22）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN.第（2）问求线段AP的长.
有平行，要证等腰，想办法构造角平分线。
分析：连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，即AN是∠PNM的平分线，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN即等腰，再用勾股定理列方程求出AP.
4总结
讲了题，如果教师没有总结，学生只是会一个题，而不是会一类题。根据近年的云南中考数学命题趋势，教师更应该注意培养归纳总结能力，这对提高初中数学教学质量，有着积极的作用。
参考文献
[1]人教版初中数学课本七年级下册，八年级上、下册，九年级上册
[2]符布先当平行线与角平分线邂逅会有怎样的精彩理科考试研究？初中2017年第01期
[3]近年云南数学中考题
[4]侯国兴角平分线+平行线→等腰三角形《今日中学生》
