大胆猜想 小心求证

赵俊达

2019年天津市中考有一道题引起了广泛的关注。题目如下：

如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中。△ABC的顶点A在格点上。点B是小正方形边的中点。∠ABC=50°。∠BAC=30°。经过点A，B的圆的圆心在边AC上。

（I）线段AB的长等于

但题目要求仅用无刻度的直尺画图，这样就必须进一步挖掘点P的性质，再利用网格和圆的特点来实现单尺画图的目标。

文[1]结合图形直观启示，经历观察、猜想、验证、计算、推理等数学活动，从而确认标准答案点P位于点P₁的合理性。并且進一步通过猜想、论证，获得点P异于标准答案的另一个位置点P₂的单尺画法，这是一个意外的收获。笔者阅后，深受启发，但也有疑惑，兹列举如下：

1.文[1]在探究点P₁准确位置时，推导大致如下：

由图2中尺规作图的分析知，△ABC内部只有一个点P符合∠PAC=∠PBC=∠PCB。由此得到标准答案中的画图方法。

2.在探究另一个符合条件的点只的相关的角时，文[1]运用了高中三角函数的相关知识。作为中考题目。其解答的依据要从高中范围寻找支撑，怎么也说不过去。能不能在已有的点P₁的结论的基础上用初中几何知识解决呢？笔者顺着文[1]的思路，做了以下探究：