周启杰
近几年全国新课标卷对于导数应用的考查，其难点一直围绕函数的单调性、极值（最值）展开，以导数为工具探究函数的性质，借此研究不等式、方程等问题，着重考查分类讨论、数形结合、化归与转化的数学思想方法，意在考查学生的运算求解能力，推理论证能力，充分体现数学理性思维的特点，从思维的层次性、深刻性、创新性等方面进行全面考查，凸显了高考试题的选拔功能，一直在履行压轴的使命.本文通过解析近几年新课标卷导数压轴题，透视归纳导数压轴题的命题规律.
类型1不等式恒成立求参数范围
不等式恒成立求参数范围是导数应用的热点问题，常规方法有分参法、函数最值法，但新课标卷对这类问题的考查却别有洞天，往往利用函数的性质求解参数的范围.2010、2011、2013、2014年份的全国新课标卷均考查了这种类型.下面以2010、2014年份的试题为例说明.
例1（2010年新课标理科）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.
解析一（1）a=0时，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1.
当x∈（-∞，0）时，f′（x）<0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0.故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加.
（2）f′（x）=ex-1-2ax，
由（1）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立.故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
从而当1-2a≥0，即a≤12时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是当x≥0时，f（x）≥0.
由ex>1+x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0）.从而当a>12时，
f′（x） 故当x∈（0，ln2a）时，f′（x）<0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）<0. 综合得a的取值范围为（-∞，12]. 解析二f′（x）=ex-1-2ax. 令g（x）=f′（x），则g′（x）=ex-2a. ①当a≤1[]2[SX）]时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）上递增，故g（x）≥g（0）=0， 所以，f′（x）≥0，即f（x）在[0，+∞）上递增， 故f（x）≥f（0）=e0-1-0-a·02=0，即f（x）≥0成立. ②当2a>1，即a>12时，ln2a>0，易知g（x）在（0，ln2a）上递减，在（ln2a，+∞）上递增，显然，在（0，ln2a）上，g（x）≤g（0）=0，所以f′（x）≤0，即f（x）在（0，ln2a）上递减，f（x） 综上得a的取值范围是（-∞，12]. 说明解法一运用了放缩法，技巧性强，解题过程简练；解法二体现了通法. 例2（2014年新课标2理科） 已知函数f（x）=ex-e-x-2x. （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值； 解析一（Ⅰ）f′（x）=ex+e-x-2≥0，等号仅当x=0时成立， 所以f（x）在（-∞，+∞）单调递增. （Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e2x-e-2x-4b（ex-e-x）+（8b-4）x， g′（x）=2[e2x+e-2x-2b（ex+e-x）+（4b-2）] =2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）. ①当b≤2时，g′（x）≥0，等号仅当x=0时成立， 所以g（x）在（-∞，+∞）单调递增. 而g（0）=0，所以对任意x>0，g（x）>0. ②当b>2时，若x满足2 即0 而g（0）=0， 因此当0 综上，b的最大值为2. 解析二（2）由g′（x）=0，即2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）=0， 得ex+e-x-2=0或ex+e-x-2b+2=0， 由ex+e-x-2=0得x=0， ①当b≤2时，g′（x）≥0，等号仅当x=0时成立， 所以g（x）在（-∞，+∞）单调递增. 而g（0）=0，所以对任意x>0，g（x）>0. ②当b>2时，由ex+e-x-2b+2=0，解得ex=b-1±b2-2b>0， 解得x=ln（b-1±b2-2b）， 其中x1=ln（b-1+b2-2b）>0，x2=ln（b-1-b2-2b）<0. 令m（x）=ex+e-x，m′（x）=ex-e-x=0，得x=0， 易知x>0时，m′（x）>0，x<0时，m′（x）<0， 即m（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，∞）上是增函数， 所以x∈（0，x1）时，ex+e-x-2b+2<0， 则x∈（0，x1）时，g′（x）<0，即g（x）在（0，x1）上单调递减， 而g（0）=0，故x∈（0，x1）时，g（x）<0，
